Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(h)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de equação diferencial usando redução de ordem. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando a técnica de redução de ordem. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e os passos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a segunda solução seja da forma:
Como , fica:
Aqui, é uma função que precisamos encontrar. A ideia da redução de ordem é encontrar de forma que seja também uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos , e na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo na equação:
Isso simplifica nossa equação diferencial para uma equação de primeira ordem em termos de .

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Assim, . Substituindo na equação:
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 6

Para resolver essa equação, podemos escrevê-la na forma padrão:
onde .
O próximo passo é encontrar um fator integrante que é dado por:

Passo 7

Calculando a integral para o fator integrante:
Podemos fazer a substituição , então . Isso transforma a integral em:
Então,

Passo 8

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então,

Passo 9

Lembrando que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Onde é a constante de integração. Podemos considerar para simplificar a solução particular.

Passo 10

Finalmente, a segunda solução é:
Podemos escolher para obter uma solução particular:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(e)
Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(i)
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(j)