Nos Problemas abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de equação diferencial usando redução de ordem. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
usando a técnica de redução de ordem. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e os passos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a segunda solução
seja da forma:
Como
, fica:
Aqui,
é uma função que precisamos encontrar. A ideia da redução de ordem é encontrar
de forma que
seja também uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo na equação:
Isso simplifica nossa equação diferencial para uma equação de primeira ordem em termos de
.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
. Assim,
. Substituindo na equação:
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 6
Para resolver essa equação, podemos escrevê-la na forma padrão:
onde
.
O próximo passo é encontrar um fator integrante
que é dado por:
Passo 7
Calculando a integral para o fator integrante:
Podemos fazer a substituição
, então
. Isso transforma a integral em:
Então,
Passo 8
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então,
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Podemos considerar
para simplificar a solução particular.
Passo 10
Finalmente, a segunda solução
é:
Podemos escolher
para obter uma solução particular:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é:
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Nos Problemas abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
(e)
(e)
Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
(b)
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(i)
(i)
Encontre a solução para as EDOs abaixo
(j)
(j)