Calcule a integral tripla integral tripla(x^2+y^2+z^2) d V, onde E é o cubo com vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) e (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre um cubo E cujo vértice vai de (0,0,0) até (1,1,1). Isso significa que vamos somar todos os valores de dentro desse cubo. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer integrais múltiplas, especialmente integrais triplas, e entender bem os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O cubo E está no espaço onde cada coordenada , e varia de 0 a 1. Ou seja:
Isso facilita porque todas as variáveis têm os mesmos limites.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral tripla usando esses limites. A integral fica assim:
integral triplalimitsE (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral0^1 integral0^1 integral0^1 (x^2 + y^2 + z^2) , dx , dy , dz

Passo 4

Vamos quebrar essa integral em três partes separadas, porque a soma dentro da integral pode ser dividida em três integrais:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 x^2 , dx , dy , dz + integral0^1 integral0^1 integral0^1 y^2 , dx , dy , dz + integral0^1 integral0^1 integral0^1 z^2 , dx , dy , dz

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Como as variáveis são independentes e os limites são de 0 a 1 para todas, a gente pode calcular cada integral de forma independente.
Primeiro, para integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13 :
integral0^1 integral0^1 x^2 , dy , dz = 13 times 1 times 1 = 13
Como e vão de 0 a 1, as integrais sobre e são simplesmente 1:

Passo 6

Fazendo o mesmo para integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 13 :
integral0^1 integral0^1 y^2 , dx , dz = 13 times 1 times 1 = 13
E multiplicando pelas integrais sobre e :

Passo 7

Finalmente, para integral0^1 z^2 , z = [ z^33 ]0^1 = 13 :
integral0^1 integral0^1 z^2 , dx , dy = 13 times 1 times 1 = 13
E multiplicando pelas integrais sobre e :

Resposta

Somando todas as partes:
13 + 13 + 13 = 1
Então, o valor da integral tripla é 1.

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