Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para a gente determinar se a função , definida por , é injetora ou não. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções injetoras, que são funções onde cada elemento do conjunto de partida mapeia para um elemento único no conjunto de chegada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e aplicar essa definição à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é chamada de injetora se, para todo , sempre que , isso implica que . Ou seja, elementos diferentes em não podem ter a mesma imagem em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . Nosso domínio é (inteiros) e a imagem está em (números naturais). Para verificar se é injetora, precisamos ver se números diferentes no conjunto dos inteiros têm imagens diferentes.

Passo 4

Vamos considerar dois números inteiros quaisquer, e , e supor que . Isso significa que:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
Isso implica que ou .

Passo 5

Veja que satisfaz a definição de injetora, mas significa que dois números diferentes (um positivo e outro negativo) podem ter a mesma imagem. Por exemplo, e . Isso mostra que a função não é injetora, já que diferentes elementos do domínio mapeiam para o mesmo elemento na imagem.

Resposta

A função não é injetora.

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(b) .