Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
Passo 1
Vamos analisar a função
para determinar se ela é injetora. Isso significa que queremos saber se cada número natural mapeia para um número inteiro único, sem repetições. Para isso, vamos usar o conceito de funções injetoras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Ou seja, não existem dois elementos diferentes no domínio que resultem no mesmo valor no contradomínio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos verificar se, para dois números naturais diferentes
e
, temos
. Suponhamos que
.
Passo 4
Se
, então
. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos
ou
. No entanto, como estamos trabalhando com números naturais (
), que são sempre positivos ou zero, a solução
não é válida aqui.
Passo 5
Portanto, se
e
, então necessariamente
. Isso significa que cada número natural é mapeado para um único número inteiro distinto pela função
.
Resposta
A função
é injetora.
Exercícios relacionados
Seja
uma função. Prove que
e que
.
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o cubo com vértices
,
e (1, 1, 1).
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
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