Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não. f: N -> Z, f(n) = n^2.

Passo 1

Vamos analisar a função f: N -> Z, f(n) = n^2 para determinar se ela é injetora. Isso significa que queremos saber se cada número natural mapeia para um número inteiro único, sem repetições. Para isso, vamos usar o conceito de funções injetoras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Ou seja, não existem dois elementos diferentes no domínio que resultem no mesmo valor no contradomínio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos verificar se, para dois números naturais diferentes m e n, temos . Suponhamos que .

Passo 4

Se , então . Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos ou . No entanto, como estamos trabalhando com números naturais ( N), que são sempre positivos ou zero, a solução não é válida aqui.

Passo 5

Portanto, se e m, n em N, então necessariamente . Isso significa que cada número natural é mapeado para um único número inteiro distinto pela função .

Resposta

A função é injetora.

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