Seja uma função. Considere a função definida por para todo . Prove que é sobrejetora.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para provar que a função , definida por para todo , é sobrejetora. Aqui, estamos trabalhando com funções e suas propriedades, especificamente a sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como podemos demonstrar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função é chamada de sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, todo elemento do conjunto de chegada é “atingido” por algum elemento de .

Passo 3

No nosso caso, a função vai de para . Por definição, é o conjunto imagem de , ou seja, todos os valores que atinge quando aplicada a elementos de . Então, para mostrar que é sobrejetora, precisamos provar que para todo em , existe um em tal que .

Passo 4

Vamos pegar um elemento qualquer em . Por definição de , sabemos que existe pelo menos um em tal que . Mas como , isso significa que .

Passo 5

Portanto, para todo em , encontramos um em que satisfaz . Isso confirma que atinge todos os elementos de , o que, por definição, significa que é uma função sobrejetora.

Resposta

Conseguimos mostrar que é sobrejetora porque, para todo em , existe um em tal que . Portanto, é uma função sobrejetora.

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