Seja
uma função. Considere a função
definida por
para todo
. Prove que
é sobrejetora.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos pede para provar que a função
, definida por
para todo
, é sobrejetora. Aqui, estamos trabalhando com funções e suas propriedades, especificamente a sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como podemos demonstrar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função
é chamada de sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, todo elemento do conjunto de chegada
é “atingido” por algum elemento de
.
Passo 3
No nosso caso, a função
vai de
para
. Por definição,
é o conjunto imagem de
, ou seja, todos os valores que
atinge quando aplicada a elementos de
. Então, para mostrar que
é sobrejetora, precisamos provar que para todo
em
, existe um
em
tal que
.
Passo 4
Vamos pegar um elemento qualquer
em
. Por definição de
, sabemos que existe pelo menos um
em
tal que
. Mas como
, isso significa que
.
Passo 5
Portanto, para todo
em
, encontramos um
em
que satisfaz
. Isso confirma que
atinge todos os elementos de
, o que, por definição, significa que
é uma função sobrejetora.
Resposta
Conseguimos mostrar que
é sobrejetora porque, para todo
em
, existe um
em
tal que
. Portanto,
é uma função sobrejetora.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o cubo com vértices
,
e (1, 1, 1).
O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(b) .
(b)
Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(b) da curva , de
até
.
(b) da curva