Seja uma função. Prove que e que .

Passo 1

Então, temos uma função . A pergunta quer que a gente prove duas coisas sobre o inverso dessa função quando aplicamos a ele o conjunto vazio e o conjunto inteiro . Vamos precisar saber o que é a imagem inversa de um conjunto através de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa . A imagem inversa de um conjunto é o conjunto de todos os elementos em que a função mapeia para algum elemento em . Ou seja:
Agora, se , não existe nenhum elemento em , então não vai ter nenhum em que vá para algum elemento de .

Passo 3

Por isso, não tem nenhum elemento, ou seja, é o conjunto vazio:

Passo 4

Agora, vamos para . Aqui, é todo o conjunto de chegada. Então, estamos pegando todos os elementos de que são mapeados para qualquer elemento em . Como é uma função de para , todo elemento de vai necessariamente ser mapeado para algum elemento em .

Passo 5

Portanto, todo satisfaz que . Assim, a imagem inversa de através de inclui todos os elementos de :

Resposta

e .

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Calcule a integral tripla , onde é o cubo com vértices , e (1, 1, 1).