Seja
uma função. Prove que
e que
.
Passo 1
Então, temos uma função
. A pergunta quer que a gente prove duas coisas sobre o inverso dessa função quando aplicamos a ele o conjunto vazio
e o conjunto inteiro
. Vamos precisar saber o que é a imagem inversa de um conjunto através de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa
. A imagem inversa de um conjunto
é o conjunto de todos os elementos em
que a função
mapeia para algum elemento em
. Ou seja:
Agora, se
, não existe nenhum elemento em
, então não vai ter nenhum
em
que vá para algum elemento de
.
Passo 3
Por isso,
não tem nenhum elemento, ou seja, é o conjunto vazio:
Passo 4
Agora, vamos para
. Aqui,
é todo o conjunto de chegada. Então, estamos pegando todos os elementos de
que são mapeados para qualquer elemento em
. Como
é uma função de
para
, todo elemento de
vai necessariamente ser mapeado para algum elemento em
.
Passo 5
Portanto, todo
satisfaz que
. Assim, a imagem inversa de
através de
inclui todos os elementos de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o cubo com vértices
,
e (1, 1, 1).