Calcule a integral tripla integral tripla(x^2+y^2) d V, onde E é o sólido limitado pelo paraboloide z=9-x^2-y^2 e o plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido que é limitado pelo paraboloide e pelo plano . Isso está no conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente em integrais triplas usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . O paraboloide se abre pra baixo e intercepta o plano quando , ou seja, quando . Isso forma um círculo de raio 3 no plano . Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde , e .

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, a expressão integral tripla (x^2 + y^2) , dV = integral tripla r^2 cdot r , dz , dr , dtheta = integral tripla r^3 , dz , dr , dtheta vira simplesmente . Além disso, o elemento de volume se transforma em . Então, nossa integral tripla passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • integral0^2pi integral0^3 integral0^9 - r^2 r^3 , dz , dr , dtheta varia de a para cobrir todo o círculo.
  • varia de a (já que quando ).
  • varia de até (limitado pelo paraboloide).
Então, nossa integral fica assim:

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a integral0^9 - r^2 r^3 , dz = r^3 cdot [ z ]0^9 - r^2 = r^3 (9 - r^2) - r^3 cdot 0 = r^3 (9 - r^2) . Como integral0^2pi integral0^3 r^3 (9 - r^2) , dr , dtheta não depende de , a integral fica:
Então, nossa integral simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^3 (9r^3 - r^5) , dr = integral0^3 9r^3 , dr - integral0^3 r^5 , dr :
integral0^3 9r^3 , dr = 9 cdot r^44 |0^3 = 9 cdot 814 = 7294
Calculando cada parte:
integral0^3 r^5 , dr = r^66 |0^3 = 7296 = 121.5
7294 - 121.5 = 182.25 - 121.5 = 60.75
Subtraindo:

Passo 7

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^2pi 60.75 , dtheta = 60.75 cdot 2pi = 121.5pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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