Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo paraboloide e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido que é limitado pelo paraboloide e pelo plano . Isso está no conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente em integrais triplas usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . O paraboloide se abre pra baixo e intercepta o plano quando , ou seja, quando . Isso forma um círculo de raio 3 no plano . Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde , e .

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, a expressão vira simplesmente . Além disso, o elemento de volume se transforma em . Então, nossa integral tripla passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • varia de a para cobrir todo o círculo.
  • varia de a (já que quando ).
  • varia de até (limitado pelo paraboloide).
Então, nossa integral fica assim:

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a . Como não depende de , a integral fica:
Então, nossa integral simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Subtraindo:

Passo 7

Por fim, vamos integrar em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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