Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo paraboloide e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido que é limitado pelo paraboloide e pelo plano . Isso está no conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente em integrais triplas usando coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido . O paraboloide se abre pra baixo e intercepta o plano quando , ou seja, quando . Isso forma um círculo de raio 3 no plano . Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde , e .
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, a expressão vira simplesmente . Além disso, o elemento de volume se transforma em . Então, nossa integral tripla passa a ser:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
varia de a para cobrir todo o círculo.
varia de a (já que quando ).
varia de até (limitado pelo paraboloide).
Então, nossa integral fica assim:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a . Como não depende de , a integral fica: