Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
(a) , onde .
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla , onde é a região definida por e . Esse problema envolve o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente, usando mudança de variáveis para facilitar a resolução. Para resolver, vamos utilizar coordenadas esféricas, que são especialmente úteis para regiões esféricas ou que têm simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessa mudança de variáveis, cada ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo (colatitude),
é o ângulo no plano a partir do eixo (azimute).
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para rho, theta e phi.
A condição x^2+y^2+z^2 <= 4 descreve uma esfera de raio 2, então rho varia de 0 a 2.
Como x >= 0, precisamos determinar os valores de phi que satisfazem essa condição. Observando a relação x = rho sintheta cosphi, para x >= 0, temos que cosphi >= 0, ou seja, phi varia de 0 a pi/2 e de 3pi/2 a 2pi.
No entanto, para simplificar, podemos considerar apenas de -pi/2 a pi/2, já que isso cobre toda a região onde x >= 0.
Para theta, como estamos cobrindo toda a esfera, theta varia de 0 a pi.
Passo 4
Substituindo x e dV nas coordenadas esféricas na integral original, temos:
integral triplaE x , dV = integral0^2 integral0^pi integral-pi/2^pi/2 ( rho sintheta cosphi ) ( rho^2 sintheta ) dphi , dtheta , drho
Simplificando:
integral triplaE x , dV = integral0^2 rho^3 integral0^pi sin^2theta , dtheta integral-pi/2^pi/2 cosphi , dphi , drho