Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
(a) integral triplaE x d V, onde E=(x, y, z) mid x >= 0, x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaE x , dV, onde E é a região definida por x >= 0 e x^2+y^2+z^2 <= 4. Esse problema envolve o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente, usando mudança de variáveis para facilitar a resolução. Para resolver, vamos utilizar coordenadas esféricas, que são especialmente úteis para regiões esféricas ou que têm simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessa mudança de variáveis, cada ponto no espaço é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo com o eixo z (colatitude),
  • phi é o ângulo no plano xy a partir do eixo x (azimute).
As relações entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas são:
x = rho sintheta cosphi y = rho sintheta sinphi z = rho costheta
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para rho, theta e phi.
A condição x^2+y^2+z^2 <= 4 descreve uma esfera de raio 2, então rho varia de 0 a 2.
Como x >= 0, precisamos determinar os valores de phi que satisfazem essa condição. Observando a relação x = rho sintheta cosphi, para x >= 0, temos que cosphi >= 0, ou seja, phi varia de 0 a pi/2 e de 3pi/2 a 2pi.
No entanto, para simplificar, podemos considerar apenas de -pi/2 a pi/2, já que isso cobre toda a região onde x >= 0.
Para theta, como estamos cobrindo toda a esfera, theta varia de 0 a pi.

Passo 4

Substituindo x e dV nas coordenadas esféricas na integral original, temos:
integral triplaE x , dV = integral0^2 integral0^pi integral-pi/2^pi/2 ( rho sintheta cosphi ) ( rho^2 sintheta ) dphi , dtheta , drho
Simplificando:
integral triplaE x , dV = integral0^2 rho^3 integral0^pi sin^2theta , dtheta integral-pi/2^pi/2 cosphi , dphi , drho

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro, a integral em phi:
integral-pi/2^pi/2 cosphi , dphi = sinphi |-pi/2^pi/2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2
Em seguida, a integral em theta:
integral0^pi sin^2theta , dtheta = pi2
Isso porque integral0^pi sin^2theta , dtheta = pi2.
Por fim, a integral em rho:
integral0^2 rho^3 , drho = rho^44 |0^2 = 164 - 0 = 4

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
integral triplaE x , dV = 4 times pi2 times 2 = 4pi
Portanto, o valor da integral tripla é 4pi.

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