Uma placa de metal aquecida está situada em um plano
de modo tal que a temperatura
no ponto
é dada por
. Determine a taxa de variação de
em relação a distância no ponto
na direção de (a) do eixo dos
; (b) do eixo dos
.
Passo 1
Vamos resumir o que o problema pede: Temos uma função que descreve a temperatura
em qualquer ponto
do plano
, dada por
. Precisamos encontrar como a temperatura está mudando em relação à distância no ponto
nas direções dos eixos
e
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a temperatura muda quando nos movemos apenas na direção de
ou de
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Esses valores representam a taxa de variação da temperatura
nas direções dos eixos
e
, respectivamente.
Resposta
(a) A taxa de variação de
na direção do eixo
no ponto
é 200.
(b) A taxa de variação de
na direção do eixo
no ponto
é 400.