Uma placa de metal aquecida está situada em um plano x y de modo tal que a temperatura T no ponto (x, y) é dada por T = 10 * (x^2 + y^2)^2. Determine a taxa de variação de T em relação a distância no ponto P(1,2) na direção de (a) do eixo dos x x; (b) do eixo dos y y.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema pede: Temos uma função que descreve a temperatura em qualquer ponto do plano , dada por . Precisamos encontrar como a temperatura está mudando em relação à distância no ponto nas direções dos eixos e . Para isso, vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a temperatura muda quando nos movemos apenas na direção de ou de .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

Esses valores representam a taxa de variação da temperatura nas direções dos eixos e , respectivamente.

Resposta

(a) A taxa de variação de na direção do eixo no ponto é 200.
(b) A taxa de variação de na direção do eixo no ponto é 400.

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