Determine a região de integração , esboce-a no plano e troque a ordem de integração da integral iterada .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! Temos uma integral dupla dada por:
O que precisamos fazer é:
  1. Determinar a região de integração : Isso significa identificar todas as combinações de e que satisfazem os limites da integral.
  2. Esboçar essa região no plano : Uma representação visual ajuda a entender melhor como os limites se relacionam.
  3. Trocar a ordem de integração: Reescrever a integral de forma que seja a primeira variável a integrar e a segunda.
Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como eles se relacionam no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
  • Para : Vai de 0 a 1, ou seja, .
  • Para : Para cada valor de , vai de até , ou seja, .
Isso nos dá uma ideia de que está entre duas funções de : uma cúbica ( ) e uma raiz quadrada ( ).

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região no plano :
  1. Desenhe os eixos: Primeiro, desenhe os eixos e .
  2. Trace as curvas:
    • : Uma curva que começa em (0,0) e cresce mais suavemente.
    • : Outra curva que também começa em (0,0) mas cresce mais rapidamente no começo.
  3. Determine a interseção: Vamos encontrar onde :
Então, as curvas se intersectam em e .
  1. Identifique a região : Entre e , está entre (abaixo) e (acima).

Passo 4

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de em termos de :
  1. Determine os limites de : Observando as curvas, varia de 0 a 1.
  2. Para cada , encontre :
    • A partir de , resolvemos para : .
    • A partir de , resolvemos para : .
  3. Identifique qual limite é menor ou maior:
    • Para , .
Então, varia de até para cada entre 0 e 1.

Passo 5

Com esses novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração trocada:

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada é:

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sobre esta região. (Resp.: 0)
Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
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Seja a região em limitada pelos planos e . Calcule
(Resp.: )