Determine a região de integração
, esboce-a no plano
e troque a ordem de integração da integral iterada
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! Temos uma integral dupla dada por:
O que precisamos fazer é:
- Determinar a região de integração
: Isso significa identificar todas as combinações de e que satisfazem os limites da integral. - Esboçar essa região no plano
: Uma representação visual ajuda a entender melhor como os limites se relacionam. - Trocar a ordem de integração: Reescrever a integral de forma que
seja a primeira variável a integrar e a segunda.
Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como eles se relacionam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
- Para
: Vai de 0 a 1, ou seja, . - Para
: Para cada valor de , vai de até , ou seja, .
Isso nos dá uma ideia de que
está entre duas funções de
: uma cúbica (
) e uma raiz quadrada (
).
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região no plano
:
-
Desenhe os eixos: Primeiro, desenhe os eixos
e . -
Trace as curvas:
-
: Uma curva que começa em (0,0) e cresce mais suavemente. -
: Outra curva que também começa em (0,0) mas cresce mais rapidamente no começo.
-
-
Determine a interseção: Vamos encontrar onde
:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
- Identifique a região
: Entre e , está entre (abaixo) e (acima).
Passo 4
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de
em termos de
:
-
Determine os limites de
: Observando as curvas, varia de 0 a 1. -
Para cada
, encontre : - A partir de
, resolvemos para : . - A partir de
, resolvemos para : .
- A partir de
-
Identifique qual limite é menor ou maior:
- Para
, .
- Para
Então,
varia de
até
para cada
entre 0 e 1.
Passo 5
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração trocada:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada é:
Exercícios relacionados
Esboce a região definida por
e
. Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)
Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
Calcule a integral tripla
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e os cones
e
Seja
a região em
limitada pelos planos
e
. Calcule
(Resp.:
)