Esboce a região definida por e . Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que desenhar a região definida por três condições:
Depois disso, precisamos calcular a integral da função
sobre essa região. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito quando estamos lidando com círculos ou regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos considerando. As duas inequações e descrevem um anel (ou região entre dois círculos) com raio interno e raio externo . Então, temos um anel onde o raio varia de 1 a .

Passo 3

A terceira condição é . Em coordenadas polares, onde e , essa inequação se torna:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ), obtemos:
Então, o ângulo varia de a para satisfazer .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares:
E o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Com tudo isso, a integral que precisamos calcular fica:
Vamos separar as integrais em e :

Passo 6

Calculando a integral em :

Passo 7

Agora, calculamos a integral em :
Podemos usar a identidade trigonométrica , então:
A integral vira:
Sabendo que e , a integral em é:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos as duas integrais:

Resposta

0

Exercícios relacionados

Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:
Determine a região de integração , esboce-a no plano e troque a ordem de integração da integral iterada .
Calcule a integral tripla onde é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera e os cones e