Esboce a região definida por
e
. Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que desenhar a região definida por três condições:
Depois disso, precisamos calcular a integral da função
sobre essa região. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito quando estamos lidando com círculos ou regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos considerando. As duas inequações
e
descrevem um anel (ou região entre dois círculos) com raio interno
e raio externo
. Então, temos um anel onde o raio
varia de 1 a
.
Passo 3
A terceira condição é
. Em coordenadas polares, onde
e
, essa inequação se torna:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
), obtemos:
Então, o ângulo
varia de
a
para satisfazer
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 5
Com tudo isso, a integral que precisamos calcular fica:
Vamos separar as integrais em
e
:
Passo 6
Calculando a integral em
:
Passo 7
Agora, calculamos a integral em
:
Podemos usar a identidade trigonométrica
, então:
A integral vira:
Sabendo que
e
, a integral em
é:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos as duas integrais:
Resposta
0
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, esboce-a no plano
e troque a ordem de integração da integral iterada
.
Calcule a integral tripla
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e os cones
e