Calcule a integral tripla. integral triplaE 6 x y d V, onde E está abaixo do plano z=1+x+y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral triplaE 6 x y , dV, onde a região E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região no plano xy limitada pelas curvas y = raizx, y = 0 e x = 1. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e entender como definir os limites de integração para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E em que vamos integrar. Ela está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região no plano xy limitada por y = raizx, y = 0 e x = 1. Vamos desenhar isso para visualizar melhor.

Passo 3

No plano xy, as curvas são y = raizx (uma parábola), y = 0 (eixo x) e x = 1 (linha vertical). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de x e y.
Para y = raizx e y = 0, obtemos x = 0. Para y = raizx e x = 1, obtemos y = 1. Então, x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 a raizx.

Passo 4

Agora, vamos determinar o limite para z. Sabemos que z está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima do plano z = 0 (plano xy). Então, para cada ponto (x, y), z varia de 0 a 1 + x + y.

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integralx=0^1 integraly=0^raizx integralz=0^1 + x + y 6xy , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a z. A integral de 6xy em relação a z de 0 a 1 + x + y é:
6xy cdot z |0^1 + x + y = 6xy (1 + x + y)

Passo 7

Agora, nossa integral reduz para:
integral0^1 integral0^raizx 6xy (1 + x + y) , dy , dx
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
6xy (1 + x + y) = 6xy + 6x^2 y + 6x y^2

Passo 8

Vamos integrar termo a termo em relação a y:
integral0^raizx 6xy , dy = 6x cdot y^22 |0^raizx = 6x cdot x2 = 3x^2
integral0^raizx 6x^2 y , dy = 6x^2 cdot y^22 |0^raizx = 6x^2 cdot x2 = 3x^3
integral0^raizx 6x y^2 , dy = 6x cdot y^33 |0^raizx = 6x cdot x^3/23 = 2x^5/2

Passo 9

Somando os resultados das integrais em y, temos:
3x^2 + 3x^3 + 2x^5/2
Agora, vamos integrar isso em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (3x^2 + 3x^3 + 2x^5/2) , dx

Passo 10

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 |0^1 = x^3 |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 3x^3 , dx = 3 cdot x^44 |0^1 = 34 (1 - 0) = 34
integral0^1 2x^5/2 , dx = 2 cdot x^7/27/2 |0^1 = 47 (1 - 0) = 47

Passo 11

Agora, somamos os resultados das integrais:
1 + 34 + 47 = 2828 + 2128 + 1628 = 6528

Resposta

A integral tripla vale 6528.

Exercícios relacionados

Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Abaixo do cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima do disco x^2 + y^2 <= 4
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retangulo R = {(x, y) | 0 <= x <= 1, -2 <= y <= 3}.
Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y^2+z^2=9, x=-2 e x=2
Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaH 9-x^2-y^2 d V, onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9 e z >= 0.