Calcule a integral tripla. , onde está abaixo do plano e acima da região do plano limitada pelas curvas e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a região está abaixo do plano e acima da região no plano limitada pelas curvas , e . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e entender como definir os limites de integração para essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região em que vamos integrar. Ela está abaixo do plano e acima da região no plano limitada por , e . Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Passo 3
No plano , as curvas são (uma parábola), (eixo ) e (linha vertical). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de e .
Para e , obtemos . Para e , obtemos . Então, varia de a , e para cada , varia de a .
Passo 4
Agora, vamos determinar o limite para . Sabemos que está abaixo do plano e acima do plano (plano ). Então, para cada ponto , varia de a .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Passo 6
Vamos começar integrando em relação a . A integral de em relação a de a é:
Passo 7
Agora, nossa integral reduz para:
integral0^1 integral0^raizx 6xy (1 + x + y) , dy , dx