Cálcule a integral tripla
onde
é o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
Sugestão: use coordenadas cilíndricas.
Sugestão: use coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla passo a passo! O enunciado nos pede para calcular a integral
, onde
é o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que as equações do sólido ficam mais simples nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as formas geométricas envolvidas:
- Esfera:
. Em coordenadas cilíndricas, isso vira , onde . - Cone:
, que em coordenadas cilíndricas fica .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- θ varia de
a , pois estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo . - Para encontrar os limites de
, igualamos as equações da esfera e do cone: Elevando ambos os lados ao quadrado: Resolvendo a equação quadrática, temos (desprezando a solução negativa). - Então,
varia de a . - Para
, em cada valor de , varia de até .
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é dado por
. A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral começando por
:
Integrando
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla
vale
.
Exercícios relacionados
Determine o(s) ponto(s) do plano
no primeiro octante no(s) qual(is) a função
assume o valor máximo. Impondo-se ainda a restrição
, onde a função
assume seu valor máximo?
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Obtenha uma aproximação linear para a função
no ponto
e compare o valor de
no ponto
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no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?