Cálcule a integral tripla onde é o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone
Sugestão: use coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla passo a passo! O enunciado nos pede para calcular a integral , onde é o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que as equações do sólido ficam mais simples nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as formas geométricas envolvidas:
  • Esfera: . Em coordenadas cilíndricas, isso vira , onde .
  • Cone: , que em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e .
  1. θ varia de a , pois estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo .
  2. Para encontrar os limites de , igualamos as equações da esfera e do cone: Elevando ambos os lados ao quadrado: Resolvendo a equação quadrática, temos (desprezando a solução negativa).
  3. Então, varia de a .
  4. Para , em cada valor de , varia de até .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por :
Integrando :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla vale .

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