Cálcule a integral tripla integral triplaE 3 z d V onde E é o sólido limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=5 e abaixo pelo cone z=1+raizx^2+y^2
Sugestão: use coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla passo a passo! O enunciado nos pede para calcular a integral integral triplaE 3 z , dV, onde E é o sólido limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=5 e abaixo pelo cone z=1+raizx^2+y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que as equações do sólido ficam mais simples nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as formas geométricas envolvidas:
  • Esfera: x^2+y^2+z^2=5. Em coordenadas cilíndricas, isso vira r^2 + z^2 = 5, onde r = raizx^2+y^2.
  • Cone: z=1+raizx^2+y^2, que em coordenadas cilíndricas fica z = 1 + r.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para r, θ e z.
  1. θ varia de 0 a 2pi, pois estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo z.
  2. Para encontrar os limites de r, igualamos as equações da esfera e do cone: 1 + r = raiz5 - r^2 Elevando ambos os lados ao quadrado: (1 + r)^2 = 5 - r^2 1 + 2r + r^2 = 5 - r^2 2r^2 + 2r - 4 = 0 r^2 + r - 2 = 0 Resolvendo a equação quadrática, temos r = 1 (desprezando a solução negativa).
  3. Então, r varia de 0 a 1.
  4. Para z, em cada valor de r, varia de z = 1 + r até z = raiz5 - r^2.

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV é dado por r , dz , dr , dθ. A integral fica:
integral triplaE 3 z , dV = integral0^2pi integral0^1 integral1 + r^raiz5 - r^2 3 z cdot r , dz , dr , dθ

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por z:
integral1 + r^raiz5 - r^2 3 z cdot r , dz = 3r integral1 + r^raiz5 - r^2 z , dz
Integrando z:
3r [ z^22 ]1 + r^raiz5 - r^2 = 3r2 (5 - r^2 - (1 + r)^2)
= 3r2 (5 - r^2 - (1 + 2r + r^2))
= 3r2 (5 - r^2 -1 -2r - r^2)
= 3r2 (4 - 2r - 2r^2)
= 3r (2 - r - r^2)
= 6r - 3r^2 - 3r^3

Passo 6

Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 (6r - 3r^2 - 3r^3) , dr = 6 integral0^1 r , dr - 3 integral0^1 r^2 , dr - 3 integral0^1 r^3 , dr
= 6 [ r^22 ]0^1 - 3 [ r^33 ]0^1 - 3 [ r^44 ]0^1
= 6 ( 12 - 0 ) - 3 ( 13 - 0 ) - 3 ( 14 - 0 )
= 3 - 1 - 34
= 2 - 34 = 54

Passo 7

Por fim, integramos em relação a θ:
integral0^2pi 54 , dθ = 54 cdot 2pi = 52 pi

Resposta

A integral tripla integral triplaE 3 z , dV vale 52, pi.

Exercícios relacionados