Obtenha uma aproximação linear para a função z = sen(x-y) / cos(x+y) no ponto x = pi / 6, y = -pi/6 e compare o valor de z no ponto x = pi/4, y = 0 com o valor da aproximação calculada anteriormente tomada neste ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação linear para a função no ponto onde e . Depois, vamos comparar o valor real de no ponto , com a aproximação que a gente vai calcular. Para isso, vamos usar o conceito de aproximação linear, que é meio que uma forma de estimar o valor de uma função próximo de um ponto específico usando a linha tangente. Vamos precisar calcular a função no ponto dado, além das derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de no ponto inicial . Substituindo esses valores na função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Agora, avaliando em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Usando identidades trigonométricas:
Avaliando em :

Passo 5

Com esses valores em mãos, podemos montar a aproximação linear usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar o valor de no ponto :
Calculando as diferenças:
Substituindo de novo:

Passo 7

Para comparar, vamos calcular o valor real de no ponto :

Resposta

A aproximação linear de no ponto é:
O valor real de no ponto é . Comparando, a aproximação linear dá , que é próxima de , mostrando que a aproximação linear é válida para essa estimativa.

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