Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve cálculo de derivada direcional. O problema pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Além disso, precisamos determinar qual é a direção de máxima variação dessa função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de máxima variação da função e suas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a cada variável.

Passo 4

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :
Substituindo , , nas derivadas:

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de no ponto é:

Passo 7

Para encontrar a derivada direcional na direção do vetor , primeiro normalizamos :

Passo 8

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :

Passo 9

A direção de máxima variação de no ponto é na direção do gradiente , que já encontramos:
Para expressar como um vetor unitário:
çãáçã

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é . A direção de máxima variação de no ponto é na direção do vetor .

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