Calcule a integral tripla.
, onde
é limitado pelos cilindros parabólicos
e
e pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral tripla de
sobre a região
. Essa região
é limitada pelos cilindros parabólicos
e
, além dos planos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, e entender os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. As curvas que definem a base da região são
e
. Para entender melhor onde elas se encontram, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 3
Para encontrar a interseção de
e
, substituímos uma equação na outra:
Substituindo
da primeira na segunda:
Rearranjando:
Isso nos dá
ou
, ou seja,
. Correspondendo a
:
Para
:
Para :
Para
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando as curvas entre
e
, para cada valor de
,
varia de
até
(pois
implica
quando
).
Portanto:
-
varia de a - Para cada
, varia de a
Passo 5
Agora, consideramos a variável
. A região
é limitada pelos planos
e
. Isso significa que, para cada ponto
na base,
varia de
até
.
Portanto, os limites para
são:
-
varia de a
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Passo 7
Vamos resolver a integral começando por integrar em relação a
:
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 8
Vamos expandir o integrando:
Assim, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver cada uma das integrais em
separadamente.
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes:
- Seja
, então - Seja
, então
Aplicando integração por partes:
Agora, aplicamos os limites:
Passo 10
Substituindo de volta na integral em
, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Fatorando:
Passo 11
Agora, vamos separar a integral em três partes:
Vamos resolver cada uma individualmente.
Passo 12
Primeira Integral:
Para resolver
Fazemos a substituição
, então
e
.
Substituindo:
Essa integral pode ser resolvida por partes novamente, mas envolveria funções que não possuem antiderivadas elementares, então deixamos expressa dessa forma ou usamos métodos numéricos para calcular.
Segunda Integral:
Para resolver
Fazemos a substituição
, então
.
Rearranjando:
Essa integral também envolve funções que não têm antiderivadas elementares e pode ser expressa em termos da função Cosseno Integral ou calculada numericamente.
Terceira Integral:
Para resolver
Cada termo pode ser integrado separadamente, mas novamente, envolve funções que não possuem antiderivadas elementares, e podemos optar por expressá-las em termos de funções especiais ou calcular numericamente.
Passo 13
Dado que as integrais resultantes não têm soluções elementares, podemos optar por calcular uma aproximação numérica para obter o valor da integral tripla.
Usando métodos de integração numérica (como a Regra dos Trapézios ou Simpson), podemos estimar o valor da integral.
Passo 14
Após realizar os cálculos numéricos, obtemos o valor aproximado da integral tripla.
Resposta
O valor aproximado da integral tripla
sobre a região
é [valor numérico calculado].
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então
;
( ) Se
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? Justifique sua resposta.