Determine se cada equação abaixo é exata, se for, encontre sua solução
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por
. O objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a sua solução. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de equações diferenciais exatas e como identificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação
pode ser reorganizada para:
Aqui,
e
são as funções que vão nos ajudar a determinar se a equação é exata.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, devemos verificar se:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Como
, concluímos que a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Igualando a
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada situação, se as funções dadas são soluções da equação diferencial.
4能 - . . Encontre
.
Calcule a integral tripla.
, onde
é limitado pelos cilindros parabólicos
e
e pelos planos
e
.
Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se for contínua em
então
;
( ) Se