Determine se cada equação abaixo é exata, se for, encontre sua solução

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por . O objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a sua solução. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de equações diferenciais exatas e como identificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação pode ser reorganizada para:
Aqui, e são as funções que vão nos ajudar a determinar se a equação é exata.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, devemos verificar se:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Como , concluímos que a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos começar integrando em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Igualando a :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Verifique, em cada situação, se as funções dadas são soluções da equação diferencial.
4能 - . . Encontre .
Calcule a integral tripla. , onde é limitado pelos cilindros parabólicos e e pelos planos e .
Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se for contínua em então ;