Determine a derivada da função F(x)=integraltan (x)^3 exp (t) d t1+t^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a derivada da função . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. O teorema nos ajuda a derivar integrais com limites que dependem de , e a regra da cadeia será útil porque o limite inferior da integral é uma função de .

Passo 2

De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de F'(x) = exp(3)1 + 3^2 cdot 0 - exp(tan(x))1 + (tan(x))^2 cdot ddx[tan(x)] , a derivada dessa função é dada pela expressão da função integranda avaliada nos limites, multiplicada pela derivada desses limites.
Como no nosso caso, o limite superior é uma constante (3) e o limite inferior é , a derivada será:
O primeiro termo desaparece porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que:
ddx[tan(x)] = sec^2(x)
E F'(x) = -exp(tan(x))sec^2(x) cdot sec^2(x) = -exp(tan(x)) . Substituindo isso na expressão, temos:

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados