Calcule a integral tripla.
onde é o tetraedro sólido com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde é um tetraedro com vértices em , , e . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas sobre uma região tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. O tetraedro dado tem quatro vértices, então vamos determinar os limites de integração para as variáveis , e .

Passo 3

Observando os vértices, vemos que varia de a . Para cada valor de , varia de até (já que o vértice indica que vai até o próprio ). Finalmente, para cada par , varia de até a reta que liga a . Essa reta pode ser descrita pela equação .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla vale .

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