Calcule a integral tripla.
onde
é o tetraedro sólido com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde
é um tetraedro com vértices em
,
,
e
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas sobre uma região tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região
onde vamos integrar. O tetraedro dado tem quatro vértices, então vamos determinar os limites de integração para as variáveis
,
e
.
Passo 3
Observando os vértices, vemos que
varia de
a
. Para cada valor de
,
varia de
até
(já que o vértice
indica que
vai até o próprio
). Finalmente, para cada par
,
varia de
até a reta que liga
a
. Essa reta pode ser descrita pela equação
.
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Utilize a integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea
.
Determine o volume so sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
acima do retângulo
.
Use o roteiro para esboçar a curva
.
10. Esboço da curva
10. Esboço da curva
Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto