Calcule a integral tripla.
integral triplaE x^2 d V onde E é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaE x^2 dV, onde E é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,0,1). Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas sobre uma região tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região E onde vamos integrar. O tetraedro dado tem quatro vértices, então vamos determinar os limites de integração para as variáveis x, y e z.

Passo 3

Observando os vértices, vemos que x varia de 0 a 1. Para cada valor de x, y varia de 0 até x (já que o vértice (1,1,0) indica que y vai até o próprio x). Finalmente, para cada par (x,y), z varia de 0 até a reta que liga (1,1,0) a (0,0,1). Essa reta pode ser descrita pela equação z = 1 - x.

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites determinados:
integral0^1 integral0^x integral0^1 - x x^2 , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a z:
integral0^1 - x x^2 , dz = x^2 cdot (1 - x - 0) = x^2(1 - x)

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a y:
integral0^x x^2(1 - x) , dy = x^2(1 - x) cdot (x - 0) = x^3(1 - x)

Passo 7

Por fim, integramos em relação a x:
integral0^1 x^3(1 - x) , dx = integral0^1 (x^3 - x^4) , dx
= [ x^44 - x^55 ]0^1 = ( 14 - 15 ) - (0 - 0) = 14 - 15 = 5 - 420 = 120

Resposta

A integral tripla vale 120.

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