Use o roteiro para esboçar a curva
.
10. Esboço da curva
10. Esboço da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a curva da função
. Isso envolve assuntos de funções racionais e análise gráfica. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como assíntotas, interseções com os eixos, e o comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para entender melhor:
Aqui temos uma função racional, onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Vamos encontrar as interseções com o eixo y. Para isso, substituímos
:
Então, a curva passa pela origem, ponto (0, 0).
Passo 4
Agora, vamos achar as interseções com o eixo x. Para isso, colocamos
e resolvemos para
:
O numerador precisa ser zero:
Portanto, a única interseção com o eixo x é no ponto (0, 0), que já encontramos.
Passo 5
Vamos identificar as assíntotas verticais. São valores de
que tornam o denominador zero:
Então, temos duas assíntotas verticais em
e
.
Passo 6
Agora, encontraremos as assíntotas horizontais olhando para o comportamento da função quando
tende ao infinito:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo determinado pelas assíntotas verticais (
e
):
- Para
- Para
- Para
Escolhemos pontos de teste em cada intervalo para ver se
é positivo ou negativo.
Passo 8
Escolhendo pontos de teste:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Isso mostra que a função é positiva em todos os intervalos, exceto nas assíntotas verticais onde não está definida.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar a curva:
- Passa pela origem (0,0).
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - A função é positiva em todos os intervalos analisados.
Resposta
O esboço da curva
apresenta assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e passa pela origem (0,0). A função é positiva para todos os valores de
exceto nos pontos das assíntotas.
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e
.
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.
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(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.