Use o roteiro para esboçar a curva .
10. Esboço da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a curva da função . Isso envolve assuntos de funções racionais e análise gráfica. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como assíntotas, interseções com os eixos, e o comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para entender melhor:
Aqui temos uma função racional, onde o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Vamos encontrar as interseções com o eixo y. Para isso, substituímos :
Então, a curva passa pela origem, ponto (0, 0).

Passo 4

Agora, vamos achar as interseções com o eixo x. Para isso, colocamos e resolvemos para :
O numerador precisa ser zero:
Portanto, a única interseção com o eixo x é no ponto (0, 0), que já encontramos.

Passo 5

Vamos identificar as assíntotas verticais. São valores de que tornam o denominador zero:
Então, temos duas assíntotas verticais em e .

Passo 6

Agora, encontraremos as assíntotas horizontais olhando para o comportamento da função quando tende ao infinito:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo determinado pelas assíntotas verticais ( e ):
  • Para
  • Para
  • Para
Escolhemos pontos de teste em cada intervalo para ver se é positivo ou negativo.

Passo 8

Escolhendo pontos de teste:
  • Em :
  • Em :
(já sabemos)
  • Em :
Isso mostra que a função é positiva em todos os intervalos, exceto nas assíntotas verticais onde não está definida.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar a curva:
  • Passa pela origem (0,0).
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • A função é positiva em todos os intervalos analisados.

Resposta

O esboço da curva apresenta assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e passa pela origem (0,0). A função é positiva para todos os valores de exceto nos pontos das assíntotas.

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© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.