Utilize a integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar uma integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea definida por . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente sobre integrais em coordenadas polares. Vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas para encontrar áreas em sistemas de coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a rosácea . Esse é um tipo de curva em coordenadas polares que forma um laço. Para visualizar, imagine um gráfico onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo do x.

Passo 3

Para encontrar a área dessa região usando uma integral dupla em coordenadas polares, precisamos saber que a fórmula geral para a área em coordenadas polares é:
Aqui, e são os limites de que definem a região, e é a função que descreve a curva.

Passo 4

No caso da rosácea , precisamos determinar os limites de que correspondem ao laço. Observando o gráfico dessa função, vemos que o laço ocorre quando é negativo, ou seja, quando varia de a .

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar a área do laço:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 7

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:

Passo 8

Agora, precisamos resolver a integral de . Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Então,

Passo 10

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto,

Resposta

A área da região da laço da rosácea é unidades de área.

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Determine o volume so sólido que está abaixo do paraboloide elíptico acima do retângulo .
Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.
Calcule a integral tripla.
onde é o tetraedro sólido com vértices e .
Use o roteiro para esboçar a curva .
10. Esboço da curva