Utilize a integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar uma integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea definida por
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente sobre integrais em coordenadas polares. Vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas para encontrar áreas em sistemas de coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a rosácea
. Esse é um tipo de curva em coordenadas polares que forma um laço. Para visualizar, imagine um gráfico onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo do x.
Passo 3
Para encontrar a área dessa região usando uma integral dupla em coordenadas polares, precisamos saber que a fórmula geral para a área
em coordenadas polares é:
Aqui,
e
são os limites de
que definem a região, e
é a função que descreve a curva.
Passo 4
No caso da rosácea
, precisamos determinar os limites de
que correspondem ao laço. Observando o gráfico dessa função, vemos que o laço ocorre quando
é negativo, ou seja, quando
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar a área do laço:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
Passo 8
Agora, precisamos resolver a integral de
. Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 10
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Portanto,
Resposta
A área da região da laço da rosácea é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine o volume so sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
acima do retângulo
.
Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.
Calcule a integral tripla.
onde
é o tetraedro sólido com vértices
e
.
Use o roteiro para esboçar a curva
.
10. Esboço da curva
10. Esboço da curva