Determine o volume so sólido que está abaixo do paraboloide elíptico acima do retângulo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico dado por e acima do retângulo . Para resolver isso, vamos utilizar cálculo integral, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação do paraboloide para expressar em função de e :
Isso nos dá a altura do paraboloide em cada ponto da região .

Passo 3

O volume que queremos encontrar pode ser calculado integrando a função sobre a região . Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular essa integral dupla. A região é um retângulo definido por e . Então, a integral fica assim:

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então:
Somando as partes:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada integral:
Somando as partes:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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