Determine o volume so sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
acima do retângulo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico dado por
e acima do retângulo
. Para resolver isso, vamos utilizar cálculo integral, especificamente integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação do paraboloide para expressar
em função de
e
:
Isso nos dá a altura do paraboloide em cada ponto
da região
.
Passo 3
O volume que queremos encontrar pode ser calculado integrando a função
sobre a região
. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular essa integral dupla. A região
é um retângulo definido por
e
. Então, a integral fica assim:
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Somando as partes:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada integral:
Somando as partes:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.
Um sólido
é delimitado pelo paraboloide
, pelo interior do cilindro
e pelo plano-
. Sabendo que a densidade no ponto
é a distância do ponto ao eixo-z, determine a massa de
.
Utilize a integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea
.
Calcule a integral tripla.
onde
é o tetraedro sólido com vértices
e
.