Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície parametrizada pela função no ponto . Vamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e produto vetorial, para achar essa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos dar os vetores tangentes à superfície nos eixos e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular esses vetores tangentes no ponto específico .
Para :
Para :
Passo 4
Com os vetores tangentes e , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses dois vetores.
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal e um ponto na superfície , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: