Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície parametrizada pela função no ponto . Vamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e produto vetorial, para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos dar os vetores tangentes à superfície nos eixos e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular esses vetores tangentes no ponto específico .
Para :
Para :

Passo 4

Com os vetores tangentes e , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses dois vetores.
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal e um ponto na superfície , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

Exercícios relacionados

Use o roteiro para esboçar a curva .
10. Esboço da curva
Calcule a integral tripla.
onde é o tetraedro sólido com vértices e .
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.
(a) Find the solution of the given initial value problem in explicit form.
(b) Plot the graph of the solution.
© Determine (at least approximately) the interval in which the solution is defined.