Determine uma equação do plano tangente à superfícies parametrizada por
r(u, v) = < u^2 + 1, v^2 + 1, u + v >
no ponto r(2,1) = (5,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície parametrizada pela função no ponto . Vamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e produto vetorial, para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos dar os vetores tangentes à superfície nos eixos e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular esses vetores tangentes no ponto específico .
Para :
Para :

Passo 4

Com os vetores tangentes e , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses dois vetores.
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal e um ponto na superfície , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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