Calcule a integral tripla integral triplaE x^2 y d V, onde E é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla onde é um tetraedro com vértices em , , e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que precisamos: Entender os limites de integração para o tetraedro e integrar a função em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Ele está no primeiro octante (onde , , são positivos) e tem faces nos planos , , , e a face inclinada que junta os pontos , e .
Para definir os limites de integração, precisamos expressar em termos de e . A equação da face inclinada pode ser encontrada resolvendo , então .

Passo 3

Agora, definimos os limites para cada variável:
  • Para integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x - y x^2 y , dz , dy , dx : Vai de 0 a 1.
  • Para : Para um valor fixo de , vai de 0 a .
  • Para : Para valores fixos de e , vai de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integralz=0^1 - x - y x^2 y , dz = x^2 y cdot z |0^1 - x - y = x^2 y (1 - x - y) :
integral0^1 integral0^1 - x x^2 y (1 - x - y) , dy , dx
Agora nossa integral ficou reduzida a:

Passo 5

Expandindo a expressão dentro da integral:
x^2 y (1 - x - y) = x^2 y - x^3 y - x^2 y^2
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 - x ( x^2 y - x^3 y - x^2 y^2 ) dy , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo em relação a integral0^1 ( x^2 (1 - x)^22 - x^3 (1 - x)^22 - x^2 (1 - x)^33 ) dx :
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificando os termos dentro da integral:
x^2 (1 - x)^22 - x^3 (1 - x)^22 = x^2 (1 - x)^2 (1 - x)2 = x^2 (1 - x)^32
Portanto, a integral fica:
integral0^1 ( x^2 (1 - x)^32 - x^2 (1 - x)^33 ) dx = integral0^1 x^2 (1 - x)^3 ( 12 - 13 ) dx = integral0^1 x^2 (1 - x)^3 cdot 16 dx

Passo 8

Agora, a integral é:
16 integral0^1 x^2 (1 - x)^3 , dx
Para resolver isso, usamos a fórmula da integral de integral0^1 x^m (1 - x)^n , dx = m! , n!(m + n + 1)! :
16 cdot 2! , 3!(2 + 3 + 1)! = 16 cdot 2 cdot 66! = 16 cdot 12720 = 124320 = 1360
Aqui, e , então:

Resposta

A integral tripla vale .

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