Calcule a integral tripla , onde é o tetraedro sólido com vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla onde é um tetraedro com vértices em , , e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que precisamos: Entender os limites de integração para o tetraedro e integrar a função em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Ele está no primeiro octante (onde , , são positivos) e tem faces nos planos , , , e a face inclinada que junta os pontos , e .
Para definir os limites de integração, precisamos expressar em termos de e . A equação da face inclinada pode ser encontrada resolvendo , então .
Passo 3
Agora, definimos os limites para cada variável:
Para : Vai de 0 a 1.
Para : Para um valor fixo de , vai de 0 a .
Para : Para valores fixos de e , vai de 0 a .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Agora nossa integral ficou reduzida a:
Passo 5
Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo em relação a :
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificando os termos dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, a integral é:
Para resolver isso, usamos a fórmula da integral de :