Calcule a integral tripla , onde é o tetraedro sólido com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla onde é um tetraedro com vértices em , , e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que precisamos: Entender os limites de integração para o tetraedro e integrar a função em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Ele está no primeiro octante (onde , , são positivos) e tem faces nos planos , , , e a face inclinada que junta os pontos , e .
Para definir os limites de integração, precisamos expressar em termos de e . A equação da face inclinada pode ser encontrada resolvendo , então .

Passo 3

Agora, definimos os limites para cada variável:
  • Para : Vai de 0 a 1.
  • Para : Para um valor fixo de , vai de 0 a .
  • Para : Para valores fixos de e , vai de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a :
Agora nossa integral ficou reduzida a:

Passo 5

Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificando os termos dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Agora, a integral é:
Para resolver isso, usamos a fórmula da integral de :
Aqui, e , então:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Resolva as integrais usando métodos adequados:
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Determine a derivada de cada uma das funções dadas abaixo: