Resolva as integrais usando métodos adequados: integral sin ^5(x) raiz[3]cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com integração envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o método de substituição, que é muito útil quando conseguimos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Note que integral (1 - cos^2(x))^2 cdot sin(x) cdot raiz[3]cos(x) , dx pode ser separada como . Sabemos que , então . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que temos uma expressão envolvendo e seu derivado, que é . Então, vamos deixar . Isso implica que , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral (1 - u^2)^2 cdot (-du) cdot u^1/3
Simplificando os sinais:
- integral (1 - u^2)^2 cdot u^1/3 , du

Passo 5

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
- integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^1/3 , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Distribuindo - integral ( u^1/3 - 2u^7/3 + u^13/3 ) , du dentro dos termos:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
- ( u^4/343 - 2 cdot u^10/3103 + u^16/3163 ) + C
Simplificando as frações:
- ( 34 u^4/3 - 610 u^10/3 + 316 u^16/3 ) + C
- 34 u^4/3 + 35 u^10/3 - 316 u^16/3 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos - 34 (cos(x))^4/3 + 35 (cos(x))^10/3 - 316 (cos(x))^16/3 + C de volta:

Resposta

A integral de - 34 cos^4/3(x) + 35 cos^10/3(x) - 316 cos^16/3(x) + C é:

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