Um estudante está infectado com um determinado vírus em uma faculdade isolada com M alunos. Suponhamos que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional à quantidade $I(t)$ de alunos infectados e também à quantidade de alunos não infectados, então é possível afirmar que $$ \frac{d I}{d t}=k I(M-I) $$ Se $M=1000$ e é observado que, após 4 dias 50 alunos foram infectados, determine o número aproximado de alunos infectados no sexto dia.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre como um vírus se espalha numa faculdade com 1000 alunos. Usamos a equação diferencial \(\frac{dI}{dt} = k I(M - I)\), onde \(I(t)\) é o número de alunos infectados no tempo \(t\), \(M = 1000\) é o total de alunos, e \(k\) é uma constante proporcional. Precisamos descobrir quantos alunos estarão infectados no sexto dia, sabendo que após 4 dias, 50 alunos estavam infectados. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo, especialmente como resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis na equação diferencial. Queremos isolar \(I\) de um lado e \(t\) do outro. A equação é:
\[
\frac{dI}{dt} = k I (1000 - I)
\]
Vamos dividir ambos os lados por \(I(1000 - I)\) e multiplicar por \(dt\):
\[
\frac{dI}{I(1000 - I)} = k \, dt
\]
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. O lado esquerdo requer uma integração que envolve frações parciais. Vamos integrar:
\[
\int \frac{1}{I(1000 - I)} \, dI = \int k \, dt
\]
Para resolver a integral da esquerda, podemos usar a técnica de frações parciais:
\[
\frac{1}{I(1000 - I)} = \frac{1}{1000} \left( \frac{1}{I} + \frac{1}{1000 - I} \right)
\]
Então, a integral fica:
\[
\frac{1}{1000} \ln|I| - \frac{1}{1000} \ln|1000 - I| = kt + C
\]
Passo 4
Vamos simplificar a equação usando propriedades dos logaritmos:
\[
\ln\left(\frac{I}{1000 - I}\right) = 1000kt + C'
\]
Onde \(C' = 1000C\) é uma constante ajustada. Podemos reescrever isso exponencialmente:
\[
\frac{I}{1000 - I} = e^{1000kt + C'} = C e^{1000kt}
\]
Onde \(C = e^{C'}\) é uma nova constante.
Passo 5
Agora, vamos resolver para \(I\):
\[
I = C e^{1000kt} (1000 - I)
\]
Distribuindo e rearranjando:
\[
I + C e^{1000kt} I = 1000 C e^{1000kt}
\]
\[
I (1 + C e^{1000kt}) = 1000 C e^{1000kt}
\]
\[
I = \frac{1000 C e^{1000kt}}{1 + C e^{1000kt}}
\]
Podemos simplificar usando uma nova constante:
\[
I = \frac{1000}{1 + D e^{-1000kt}}
\]
Onde \(D = \frac{1}{C}\).
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a constante \(D\) usando a condição inicial. Sabemos que quando \(t = 4\), \(I = 50\):
\[
50 = \frac{1000}{1 + D e^{-1000k \cdot 4}}
\]
\[
1 + D e^{-4000k} = \frac{1000}{50} = 20
\]
\[
D e^{-4000k} = 19
\]
Passo 7
Vamos usar essa relação para expressar \(D\) em termos de \(k\):
\[
D = 19 e^{4000k}
\]
Então, nossa função \(I(t)\) fica:
\[
I(t) = \frac{1000}{1 + 19 e^{4000k} e^{-1000kt}} = \frac{1000}{1 + 19 e^{-1000k(t - 4)}}
\]
Passo 8
Agora, queremos encontrar \(I\) no sexto dia (\(t = 6\)). Substituímos \(t = 6\):
\[
I(6) = \frac{1000}{1 + 19 e^{-1000k(6 - 4)}} = \frac{1000}{1 + 19 e^{-2000k}}
\]
Mas ainda não sabemos o valor de \(k\). Para simplificar, assumiremos que a taxa \(k\) é tal que a solução se comporta de forma razoável. Contudo, sem mais informações, vamos usar a aproximação da solução logística para pequenas infecções:
Quando \(I\) é pequeno, \(\frac{dI}{dt} \approx k I M\), então a solução é:
\[
I(t) \approx I_0 e^{k M t}
\]
Sabendo que \(I(4) = 50\):
\[
50 = I_0 e^{4000k}
\]
Assumindo que \(I_0 = 1\), temos \(k = \frac{\ln(50)}{4000}\).
Passo 9
Calculando \(k\):
\[
k = \frac{\ln(50)}{4000} \approx \frac{3.912}{4000} \approx 0.000978
\]
Agora, substituímos \(k\) em \(I(6)\):
\[
I(6) = \frac{1000}{1 + 19 e^{-2000 \cdot 0.000978}} \approx \frac{1000}{1 + 19 e^{-1.956}} \approx \frac{1000}{1 + 19 \times 0.141} \approx \frac{1000}{1 + 2.679} \approx \frac{1000}{3.679} \approx 271.5
\]
Resposta
No sexto dia, aproximadamente **272 alunos** estarão infectados.