Um estudante está infectado com um determinado vírus em uma faculdade isolada com M alunos. Suponhamos que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional à quantidade $I(t)$ de alunos infectados e também à quantidade de alunos não infectados, então é possível afirmar que $$ \frac{d I}{d t}=k I(M-I) $$ Se $M=1000$ e é observado que, após 4 dias 50 alunos foram infectados, determine o número aproximado de alunos infectados no sexto dia.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre como um vírus se espalha numa faculdade com 1000 alunos. Usamos a equação diferencial \(\frac{dI}{dt} = k I(M - I)\), onde \(I(t)\) é o número de alunos infectados no tempo \(t\), \(M = 1000\) é o total de alunos, e \(k\) é uma constante proporcional. Precisamos descobrir quantos alunos estarão infectados no sexto dia, sabendo que após 4 dias, 50 alunos estavam infectados. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo, especialmente como resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis na equação diferencial. Queremos isolar \(I\) de um lado e \(t\) do outro. A equação é: \[ \frac{dI}{dt} = k I (1000 - I) \] Vamos dividir ambos os lados por \(I(1000 - I)\) e multiplicar por \(dt\): \[ \frac{dI}{I(1000 - I)} = k \, dt \]

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. O lado esquerdo requer uma integração que envolve frações parciais. Vamos integrar: \[ \int \frac{1}{I(1000 - I)} \, dI = \int k \, dt \] Para resolver a integral da esquerda, podemos usar a técnica de frações parciais: \[ \frac{1}{I(1000 - I)} = \frac{1}{1000} \left( \frac{1}{I} + \frac{1}{1000 - I} \right) \] Então, a integral fica: \[ \frac{1}{1000} \ln|I| - \frac{1}{1000} \ln|1000 - I| = kt + C \]

Passo 4

Vamos simplificar a equação usando propriedades dos logaritmos: \[ \ln\left(\frac{I}{1000 - I}\right) = 1000kt + C' \] Onde \(C' = 1000C\) é uma constante ajustada. Podemos reescrever isso exponencialmente: \[ \frac{I}{1000 - I} = e^{1000kt + C'} = C e^{1000kt} \] Onde \(C = e^{C'}\) é uma nova constante.

Passo 5

Agora, vamos resolver para \(I\): \[ I = C e^{1000kt} (1000 - I) \] Distribuindo e rearranjando: \[ I + C e^{1000kt} I = 1000 C e^{1000kt} \] \[ I (1 + C e^{1000kt}) = 1000 C e^{1000kt} \] \[ I = \frac{1000 C e^{1000kt}}{1 + C e^{1000kt}} \] Podemos simplificar usando uma nova constante: \[ I = \frac{1000}{1 + D e^{-1000kt}} \] Onde \(D = \frac{1}{C}\).

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a constante \(D\) usando a condição inicial. Sabemos que quando \(t = 4\), \(I = 50\): \[ 50 = \frac{1000}{1 + D e^{-1000k \cdot 4}} \] \[ 1 + D e^{-4000k} = \frac{1000}{50} = 20 \] \[ D e^{-4000k} = 19 \]

Passo 7

Vamos usar essa relação para expressar \(D\) em termos de \(k\): \[ D = 19 e^{4000k} \] Então, nossa função \(I(t)\) fica: \[ I(t) = \frac{1000}{1 + 19 e^{4000k} e^{-1000kt}} = \frac{1000}{1 + 19 e^{-1000k(t - 4)}} \]

Passo 8

Agora, queremos encontrar \(I\) no sexto dia (\(t = 6\)). Substituímos \(t = 6\): \[ I(6) = \frac{1000}{1 + 19 e^{-1000k(6 - 4)}} = \frac{1000}{1 + 19 e^{-2000k}} \] Mas ainda não sabemos o valor de \(k\). Para simplificar, assumiremos que a taxa \(k\) é tal que a solução se comporta de forma razoável. Contudo, sem mais informações, vamos usar a aproximação da solução logística para pequenas infecções: Quando \(I\) é pequeno, \(\frac{dI}{dt} \approx k I M\), então a solução é: \[ I(t) \approx I_0 e^{k M t} \] Sabendo que \(I(4) = 50\): \[ 50 = I_0 e^{4000k} \] Assumindo que \(I_0 = 1\), temos \(k = \frac{\ln(50)}{4000}\).

Passo 9

Calculando \(k\): \[ k = \frac{\ln(50)}{4000} \approx \frac{3.912}{4000} \approx 0.000978 \] Agora, substituímos \(k\) em \(I(6)\): \[ I(6) = \frac{1000}{1 + 19 e^{-2000 \cdot 0.000978}} \approx \frac{1000}{1 + 19 e^{-1.956}} \approx \frac{1000}{1 + 19 \times 0.141} \approx \frac{1000}{1 + 2.679} \approx \frac{1000}{3.679} \approx 271.5 \]

Resposta

No sexto dia, aproximadamente **272 alunos** estarão infectados.

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