Determine a derivada d yd x de cada uma das funções dadas abaixo: integral-x^x(3+t^2)^-1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Precisamos encontrar a derivada da função . Aqui estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para funções com limites variáveis. Vamos precisar entender como derivar uma integral que tem os limites de integração dependendo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites superiores variáveis, a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite. Matematicamente, se , então .

Passo 3

No nosso caso, porém, temos uma integral definida de ddx ( integralu(x)^v(x) f(t) , dt ) = f(v(x)) cdot dvdx - f(u(x)) cdot dudx a . Para lidar com isso, usamos a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral com limites variáveis. A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos aplicar essa regra ao nosso problema:
dydx = 13 + x^2 cdot ddx(x) - 13 + (-x)^2 cdot ddx(-x)
Aqui, , e .

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas dos limites:
ddx(x) = 1 e ddx(-x) = -1
Substituindo de volta na expressão:
dydx = 13 + x^2 cdot 1 - 13 + x^2 cdot (-1)

Passo 6

Simplificando a expressão:
dydx = 13 + x^2 + 13 + x^2 = 23 + x^2

Resposta

A derivada é .

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