Determine a derivada de cada uma das funções dadas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Precisamos encontrar a derivada da função . Aqui estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para funções com limites variáveis. Vamos precisar entender como derivar uma integral que tem os limites de integração dependendo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites superiores variáveis, a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite. Matematicamente, se , então .

Passo 3

No nosso caso, porém, temos uma integral definida de a . Para lidar com isso, usamos a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral com limites variáveis. A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos aplicar essa regra ao nosso problema:
Aqui, , e .

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas dos limites:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada é .

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Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Calcule a integral tripla , onde é o tetraedro sólido com vértices e .
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Sendo definida por , calcule .