Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Precisamos encontrar a derivada
da função
. Aqui estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para funções com limites variáveis. Vamos precisar entender como derivar uma integral que tem os limites de integração dependendo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites superiores variáveis, a derivada dessa função em relação a
é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite. Matematicamente, se
, então
.
Passo 3
No nosso caso, porém, temos uma integral definida de
a
. Para lidar com isso, usamos a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral com limites variáveis. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra ao nosso problema:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas dos limites:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada
é
.
Exercícios relacionados
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Calcule a integral tripla
, onde
é o tetraedro sólido com vértices
e
.
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Sendo
definida por
, calcule
.