Determine a função y = y(x), tal que y(0) = 2e
d y/d x = (3 * sen(3 x) + 4 * e^(-2 x)) / 2
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz duas condições:
  1. — isso significa que quando , vale 2.
  2. A derivada de em relação a é dada por:
Vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente a integração, para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada para encontrar a função . A integração é o processo inverso da derivada, então se integrarmos , recuperamos mais uma constante de integração.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral de :
  1. Integral de :

Passo 5

Substituindo as integrais de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo na expressão de :
Sabemos que e , então:
Resolvendo para :

Resposta

A função desejada é:

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