Determine a função
, tal que
Digitalizado com CamScar
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
que satisfaz duas condições:
-
— isso significa que quando , vale 2. - A derivada de
em relação a é dada por:
Vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente a integração, para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada
para encontrar a função
. A integração é o processo inverso da derivada, então se integrarmos
, recuperamos
mais uma constante de integração.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
- Integral de :
- Integral de
:
Passo 5
Substituindo as integrais de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
e
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A função desejada é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla.
, onde
é limitada pelos planos
,
e
A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre esse corpo e o meio ambiente. Seja
a temperatura desse corpo em função do tempo.
Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de -20_C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40_C e após 40 minutos é 20_C, qual a temperatura inicial do corpo?
Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de -20_C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40_C e após 40 minutos é 20_C, qual a temperatura inicial do corpo?
Calcule:
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido que está abaixo da semiesfera
e acima do paraboloide