Calcule a integral tripla
, onde é o hemisfério sólido .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a integral tripla de sobre um hemisfério sólido definido por e . Isso envolve usar cálculo em coordenadas esféricas e entender como configurar a integral nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa abordagem, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: (a distância do ponto à origem), (o ângulo em relação ao eixo z) e (o ângulo no plano xy). As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A equação representa uma esfera de raio 3. Como estamos trabalhando com um hemisfério onde , temos:
  • varia de 0 a 3
  • varia de 0 a (já que )
  • varia de 0 a (cobrindo todo o círculo no plano xy)

Passo 4

Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas esféricas. A expressão fica:
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, a integral em :

Passo 7

Por fim, a integral em :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais, temos:
Então, o valor da integral tripla é .

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Calcule
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