Calcule a integral tripla , onde é o hemisfério sólido .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a integral tripla de sobre um hemisfério sólido definido por e . Isso envolve usar cálculo em coordenadas esféricas e entender como configurar a integral nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa abordagem, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: (a distância do ponto à origem), (o ângulo em relação ao eixo z) e (o ângulo no plano xy). As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A equação representa uma esfera de raio 3. Como estamos trabalhando com um hemisfério onde , temos:
varia de 0 a 3
varia de 0 a (já que )
varia de 0 a (cobrindo todo o círculo no plano xy)
Passo 4
Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas esféricas. A expressão fica:
Então, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em primeiro:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, a integral em :
Passo 7
Por fim, a integral em :
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais, temos: