Calcule a integral tripla
integral triplaH(9-x^2-y^2-z^2) d V, onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a integral tripla de sobre um hemisfério sólido definido por e . Isso envolve usar cálculo em coordenadas esféricas e entender como configurar a integral nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa abordagem, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi (a distância do ponto à origem), dV = rho^2 sinphi, drho, dphi, dtheta (o ângulo em relação ao eixo z) e (o ângulo no plano xy). As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A equação representa uma esfera de raio 3. Como estamos trabalhando com um hemisfério onde , temos:
  • varia de 0 a 3
  • varia de 0 a (já que )
  • varia de 0 a (cobrindo todo o círculo no plano xy)

Passo 4

Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas esféricas. A expressão 9 - rho^2 fica:
integral triplaH (9 - rho^2), dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 (9 - rho^2) rho^2 sinphi, drho, dphi, dtheta
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em integral0^3 (9 - rho^2) rho^2, drho = integral0^3 9rho^2 - rho^4, drho primeiro:
= 9 [rho^33]0^3 - [rho^55]0^3 = 9 (273) - (2435) = 81 - 48,6 = 32,4
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, a integral em integral0^pi2 sinphi, dphi = -cosphi gr|0^pi2 = -0 - (-1) = 1 :

Passo 7

Por fim, a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais, temos:
32,4 times 1 times 2pi = 64,8pi
Então, o valor da integral tripla é .

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