Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função tal que o gradiente de seja igual a , ou seja, . Estamos lidando com o conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente com campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é realmente conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função tal que .
Sabemos que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Para determinar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso nos dá:
Portanto,
Podemos considerar a constante como zero, pois acrescentar uma constante não afeta o gradiente.

Resposta

A função que satisfaz é:

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Calcule a integral tripla
, onde é o hemisfério sólido .
Calcule
.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
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Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
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