Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
, ou seja,
. Estamos lidando com o conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente com campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é realmente conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial
é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
.
Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá:
Portanto,
Podemos considerar a constante como zero, pois acrescentar uma constante não afeta o gradiente.
Resposta
A função
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
, onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule
.
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
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