Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos determinar se ele é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função tal que o gradiente de seja igual a , ou seja, .
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente campos conservativos e gradientes.
O que precisamos para resolver:
  1. Verificar se o campo é conservativo.
  2. Se for conservativo, encontrar a função potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se satisfaz a condição:
Isso significa que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como (a menos que , o que não é geral), a condição para o campo ser conservativo não é satisfeita.

Resposta

O campo não é conservativo.

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Calcule a integral tripla
, onde é o hemisfério sólido .
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
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Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
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