Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos determinar se ele é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
, ou seja,
.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente campos conservativos e gradientes.
O que precisamos para resolver:
- Verificar se o campo é conservativo.
- Se for conservativo, encontrar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se satisfaz a condição:
Isso significa que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como
(a menos que
, o que não é geral), a condição para o campo ser conservativo não é satisfeita.
Resposta
O campo
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
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Calcule a integral tripla
, onde
é o hemisfério sólido
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Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
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Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
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