Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
©
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Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função que é uma solução explícita da equação diferencial
. Precisamos descobrir qual intervalo de definição dessa função é o maior possível onde essa solução é válida. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e analisar onde a igualdade dada é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a
. Sabemos que:
Passo 3
A equação diferencial nos dá que
. Substituindo nessa equação, temos:
Passo 4
Sabemos que . Então, a equação fica:
Passo 5
A igualdade
implica que
deve ser não negativo, ou seja:
Passo 6
Vamos identificar os intervalos onde
é não negativo. A função
é positiva nos intervalos:
onde
é qualquer número inteiro. Isso significa que em cada ciclo de
,
é positiva no primeiro e quarto quadrantes.
Passo 7
Para encontrar o maior intervalo contínuo onde satisfaz a equação diferencial, devemos escolher um intervalo onde
permanece não negativa sem interrupções. O maior intervalo que satisfaz essa condição é:
Passo 8
Analisando as opções disponíveis, a opção ©
inclui nosso intervalo válido
, porém também contém partes onde
é negativa. No entanto, dentro desse intervalo, existem subintervalos onde a solução é válida, mas o maior intervalo contínuo onde a equação é satisfeita é
.
Resposta
O maior intervalo de definição possível para a solução é
.
Exercícios relacionados
Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
© .
©
Calcule a integral tripla
em que
e
é o tetraedro sólido com vértices
,
e
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário
dado.
.
Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de duas folhas e faça um esboço da superfície.
(a) .
(a)