Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x 0 sec (x) tg(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 0 sec (x) tan(3x)
Aqui, estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções secante e tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função secante é o inverso do cosseno:
sec(x) = 1cos(x)
E a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
tan(3x) = sin(3x)cos(3x)
Então, podemos reescrever o limite assim:
lim x 0 1cos(x) cdot sin(3x)cos(3x)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as frações:
1cos(x) cdot sin(3x)cos(3x) = sin(3x)cos(x) cdot cos(3x)
Então, o limite fica:
lim x 0 sin(3x)cos(x) cdot cos(3x)

Passo 4

Vamos analisar cada parte do numerador e do denominador quando lim x 0 3x1 cdot 1 = lim x 0 3x se aproxima de 0:
  • se aproxima de porque quando é pequeno.
  • se aproxima de 1 porque .
  • também se aproxima de 1 pelo mesmo motivo.
Então, substituindo essas aproximações no limite:

Passo 5

Agora, basta calcular o limite de lim x 0 3x = 0 quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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