Calcule os limites a seguir, justificando.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções secante e tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função secante é o inverso do cosseno:
E a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então, podemos reescrever o limite assim:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as frações:
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos analisar cada parte do numerador e do denominador quando se aproxima de 0:
  • se aproxima de porque quando é pequeno.
  • se aproxima de 1 porque .
  • também se aproxima de 1 pelo mesmo motivo.
Então, substituindo essas aproximações no limite:

Passo 5

Agora, basta calcular o limite de quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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Calcule os limites a seguir, justificando.
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