Calcule os limites a seguir, justificando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções secante e tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função secante é o inverso do cosseno:
E a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então, podemos reescrever o limite assim:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as frações:
Então, o limite fica:
Passo 4
Vamos analisar cada parte do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0:
-
se aproxima de porque quando é pequeno. -
se aproxima de 1 porque . -
também se aproxima de 1 pelo mesmo motivo.
Então, substituindo essas aproximações no limite:
Passo 5
Agora, basta calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
e entre os
.
Calcule os limites a seguir, justificando.
Calcule os limites a seguir, justificando.
Calcule a integral tripla:
; onde
é o tetraedro com vértices
;
e
.