Calcule a integral tripla: integral triplaV z d V; onde V é limitado pelos planos x=0 ; y=0 ; z=0; y+z=1 e x+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos planos , , , e . A gente vai usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, pra resolver isso. Vamos precisar entender os limites de integração para cada variável e, claro, saber como integrar funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os planos , e são os planos coordenados que formam o primeiro octante. Os planos e inclinam-se em relação aos eixos. A interseção desses planos com os coordenados nos dá os limites superiores para e em termos de .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada variável. Vamos integrar na ordem , depois , e por último .
  • Para , ele varia de 0 até onde os dois planos se encontram. Como e , para máximo, quando e , temos . Então, .
  • Para cada valor de , varia de 0 até (do plano ).
  • Para cada e , varia de 0 até (do plano ).

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla:
integral triplaV z , dV = integralz=0^1 integralx=0^1 - z integraly=0^1 - z z , dy , dx , dz

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a integraly=0^1 - z z , dy = z cdot y |0^1 - z = z(1 - z) - z(0) = z(1 - z) :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integralx=0^1 - z z(1 - z) , dx = z(1 - z) cdot x |0^1 - z = z(1 - z)(1 - z) - z(1 - z)(0) = z(1 - z)^2 :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a integralz=0^1 z(1 - z)^2 , dz :
(1 - z)^2 = 1 - 2z + z^2
Vamos expandir integral0^1 z(1 - 2z + z^2) , dz = integral0^1 (z - 2z^2 + z^3) , dz para facilitar a integração:
integral z , dz = z^22, integral 2z^2 , dz = 2z^33, integral z^3 , dz = z^44
Então,
[ z^22 - 2z^33 + z^44 ]0^1 = ( 12 - 23 + 14 ) - 0
Integrando termo a termo:
12 = 612, 23 = 812, 14 = 312
Aplicando os limites de 0 a 1:
612 - 812 + 312 = 112
Calculando os valores:
Então,

Resposta

O valor da integral tripla é .

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