Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos revisar alguns conceitos básicos sobre funções trigonométricas, especificamente a função cosseno, e como os coeficientes afetam seu comportamento.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio da função. O domínio de uma função inclui todos os valores de para os quais a função está definida. A função cosseno, , está definida para todos os números reais. Como não há restrições ou divisões por zero na expressão , o domínio de também é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo varia entre -1 e 1:
Multiplicando todos os termos por -4, lembrando que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade se inverte:
Portanto, a imagem de é o intervalo de -4 a 4.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Vamos analisar os elementos principais:
Amplitude: É o valor absoluto do coeficiente que multiplica o cosseno, ou seja, 4. Isso significa que o gráfico oscilará entre -4 e 4.
Período: O período da função cosseno padrão é . Como não há nenhum coeficiente que altere o dentro do cosseno, o período permanece .
Reflexão: O sinal negativo na frente de 4 indica que o gráfico será uma reflexão da função cosseno padrão em relação ao eixo .
Com essas informações, o gráfico de será uma onda que oscila entre 4 e -4, invertida em relação ao cosseno padrão.
Resposta
Dominio: (todos os números reais)
Imagem:
O gráfico de é uma onda refletida em relação ao eixo , com amplitude 4 e período .