Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
. Nosso objetivo é descobrir:
- Domínio: Quais valores de
podemos colocar na função sem dar problema. - Imagem: Quais são os possíveis valores que a função pode assumir.
- Esboço do Gráfico: Como a função se parece no gráfico.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de raiz quadrada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que deixam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa, porque a raiz quadrada de número negativo não é um número real.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a 4.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que
pode assumir.
Como
, a raiz quadrada sempre retorna valores não negativos. O menor valor ocorre quando
:
À medida que
aumenta,
também aumenta sem limite superior. Assim, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 0.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico da função
.
- Ponto Inicial: Sabemos que quando
, . Então, o gráfico passa pelo ponto (4, 0). - Comportamento: Conforme
aumenta, também aumenta, mas de forma crescente e não linear, seguindo a forma da raiz quadrada. - Forma da Curva: A curva vai começando de (4, 0) e se estende para a direita, subindo suavemente.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: A função é uma curva que começa no ponto (4, 0) e se estende para a direita, subindo suavemente.
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Calcule a integral tripla:
; onde
é limitado pelos planos
;
.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
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