Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . Nosso objetivo é descobrir:
  1. Domínio: Quais valores de podemos colocar na função sem dar problema.
  2. Imagem: Quais são os possíveis valores que a função pode assumir.
  3. Esboço do Gráfico: Como a função se parece no gráfico.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de raiz quadrada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que deixam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa, porque a raiz quadrada de número negativo não é um número real.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a 4.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que pode assumir.
Como , a raiz quadrada sempre retorna valores não negativos. O menor valor ocorre quando :
À medida que aumenta, também aumenta sem limite superior. Assim, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 0.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função .
  1. Ponto Inicial: Sabemos que quando , . Então, o gráfico passa pelo ponto (4, 0).
  2. Comportamento: Conforme aumenta, também aumenta, mas de forma crescente e não linear, seguindo a forma da raiz quadrada.
  3. Forma da Curva: A curva vai começando de (4, 0) e se estende para a direita, subindo suavemente.
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Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: A função é uma curva que começa no ponto (4, 0) e se estende para a direita, subindo suavemente.

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