Derive as funções

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso envolve usar algumas regras de derivação como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia. Então, vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos derivar e separadamente. Começando com . Isso é um produto de duas funções, então usamos a Regra do Produto:

Passo 4

Vamos derivar cada parte de :
  1. Para , usamos a Regra da Cadeia. Reescrevendo como :

Passo 5

Substituindo as derivadas em :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos derivar . Isso é simples:

Passo 7

Voltando à Regra do Quociente, substituímos , , e :

Passo 8

Vamos simplificar um pouco a expressão:
Podemos fatorar e organizar os termos, mas essa é a expressão da derivada.

Resposta

A derivada da função é:

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Sejam e funções definidas por e . Se , calcule .
Derive as funções
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
Calcule a integral tripla: ; onde é limitado pelos planos ; .