Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções quadráticas. Para resolver, precisamos entender o que é domínio (todos os valores de
que podemos colocar na função), imagem (todos os valores de
que obtemos) e como desenhar o gráfico dessa função no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Na função quadrática, podemos substituir qualquer número real no lugar de
e sempre obteremos um resultado válido, porque elevar um número ao quadrado e somar 4 não causa nenhuma restrição.
Então, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. A imagem são todos os possíveis valores de
.
Sabemos que
sempre será maior ou igual a zero (
), porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Ao somar 4, o menor valor que
pode ter é
. Assim,
será sempre maior ou igual a 4.
Portanto, a imagem da função é
.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
.
Sabemos que
é uma parábola com vértice na origem (0,0) e que se abre para cima. Quando adicionamos 4, estamos trasladando a parábola 4 unidades para cima.
Então, o vértice da nossa parábola será em
. A parábola ainda se abre para cima, e seus pontos vão se estender indefinidamente à direita e à esquerda a partir do vértice.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
- Gráfico: Uma parábola com vértice em
que se abre para cima.
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Derive as funções
Sejam
e
funções definidas por
e
. Se
, calcule
.
Calcule a integral tripla:
; onde
é limitado pelos planos
;
.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
: