Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções quadráticas. Para resolver, precisamos entender o que é domínio (todos os valores de que podemos colocar na função), imagem (todos os valores de que obtemos) e como desenhar o gráfico dessa função no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Na função quadrática, podemos substituir qualquer número real no lugar de e sempre obteremos um resultado válido, porque elevar um número ao quadrado e somar 4 não causa nenhuma restrição.
Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem são todos os possíveis valores de .
Sabemos que sempre será maior ou igual a zero ( ), porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Ao somar 4, o menor valor que pode ter é . Assim, será sempre maior ou igual a 4.
Portanto, a imagem da função é .

Passo 4

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função .
Sabemos que é uma parábola com vértice na origem (0,0) e que se abre para cima. Quando adicionamos 4, estamos trasladando a parábola 4 unidades para cima.
Então, o vértice da nossa parábola será em . A parábola ainda se abre para cima, e seus pontos vão se estender indefinidamente à direita e à esquerda a partir do vértice.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Gráfico: Uma parábola com vértice em que se abre para cima.

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Derive as funções
Sejam e funções definidas por e . Se , calcule .
Calcule a integral tripla: ; onde é limitado pelos planos ; .
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :