Calcule a integral tripla
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral tripla de
sobre uma região
no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente coordenadas esféricas, já que a região
é definida por esferas e um cone. Além disso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para essa região específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Ela é definida por três condições:
-
: Isso representa o espaço fora ou na superfície de uma esfera de raio 1 centrada na origem. -
: Este é o espaço dentro ou na superfície de uma esfera de raio 2 centrada no ponto (0, 0, 2). -
: Esta é a região acima de um cone definido por .
Então, a região
é onde todas essas três condições são satisfeitas ao mesmo tempo.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, que são mais adequadas para regiões que envolvem esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume é
Onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (entre o eixo z e o vetor posição), -
é o ângulo azimutal (em torno do eixo z).
Passo 4
Vamos agora traduzir as condições que definem
para coordenadas esféricas:
-
se torna , ou seja, . -
. Vamos expandir isso: Simplificando: Como , temos . -
se torna , ou seja, . Dividindo ambos os lados por (que é positivo para ):
Passo 5
Agora, vamos estabelecer os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a (varremos toda a volta ao redor do eixo z). -
varia de a (devido ao cone). - Para
: - Mínimo:
(a partir da primeira esfera). - Máximo:
(até a segunda esfera).
- Mínimo:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral tripla usando esses limites e a função a ser integrada
:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, podemos integrar em relação a
. Vamos separar a integral em duas partes:
Simplificando:
Vamos usar substituição para resolver as integrais em
. Seja
, então
.
Para a primeira integral:
Avaliado de
a
:
Para a segunda integral:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Substituindo de volta na integral original:
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
:
Podemos simplificar mais, mas já temos uma expressão fechada para a integral.
Resposta
A integral tripla vale
.