Calcule a integral tripla
integral triplaW z^2 d V
onde W=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 >= 1, x^2+y^2+(z-2)^2 <= 4, z >= raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral tripla de sobre uma região no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente coordenadas esféricas, já que a região é definida por esferas e um cone. Além disso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para essa região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela é definida por três condições:
  1. : Isso representa o espaço fora ou na superfície de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
  2. : Este é o espaço dentro ou na superfície de uma esfera de raio 2 centrada no ponto (0, 0, 2).
  3. : Esta é a região acima de um cone definido por .
Então, a região é onde todas essas três condições são satisfeitas ao mesmo tempo.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, que são mais adequadas para regiões que envolvem esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, temos:
  • O elemento de volume é
Onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo polar (entre o eixo z e o vetor posição),
  • é o ângulo azimutal (em torno do eixo z).

Passo 4

Vamos agora traduzir as condições que definem rho^2 sin^2phi cos^2theta + rho^2 sin^2phi sin^2theta + (rho cosphi - 2)^2 <= 4 para coordenadas esféricas:
  1. rho^2 sin^2phi + rho^2 cos^2phi - 4rho cosphi + 4 <= 4 se torna rho^2 - 4rho cosphi <= 0 , ou seja, rho (rho - 4 cosphi) <= 0 .
  2. 1 >= tanphi implies phi <= pi4 . Vamos expandir isso: Simplificando: Como , temos .
  3. se torna , ou seja, . Dividindo ambos os lados por (que é positivo para ):

Passo 5

Agora, vamos estabelecer os limites de integração para , e :
  • varia de a (varremos toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a (devido ao cone).
  • Para :
    • Mínimo: (a partir da primeira esfera).
    • Máximo: (até a segunda esfera).

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral tripla usando esses limites e a função a ser integrada integral triplaW z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi/4 integral1^4 cosphi rho^2 cos^2phi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta :
integral triplaW z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi/4 integral1^4 cosphi rho^4 cos^2phi sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a integral1^4 cosphi rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^4 cosphi = (4 cosphi)^55 - 15 :
integral triplaW z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi/4 ( (4 cosphi)^55 - 15 ) cos^2phi sinphi , dphi , dtheta
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Agora, podemos integrar em relação a 15 integral0^2pi integral0^pi/4 (4^5 cos^5phi - 1) cos^2phi sinphi , dphi , dtheta . Vamos separar a integral em duas partes:
15 integral0^2pi [ 4^5 integral0^pi/4 cos^7phi sinphi , dphi - integral0^pi/4 cos^2phi sinphi , dphi ] dtheta
Simplificando:
integral cos^7phi sinphi , dphi = -integral u^7 , du = -u^88 = -cos^8phi8
Vamos usar substituição para resolver as integrais em -cos^8(pi/4)8 + cos^8(0)8 = -( raiz22 )^88 + 18 = -18 cdot 16 + 18 = -1128 + 18 = 15128 . Seja integral cos^2phi sinphi , dphi = -integral u^2 , du = -u^33 = -cos^3phi3 , então -cos^3(pi/4)3 + cos^3(0)3 = -( raiz22 )^33 + 13 = -raiz224 + 13 = 13 - raiz224 = 8 - raiz224 .
Para a primeira integral:
Avaliado de a :
Para a segunda integral:
Avaliado de a :

Passo 9

Substituindo de volta na integral original:
15 integral0^2pi ( 4^5 cdot 15128 - 8 - raiz224 ) dtheta
Calculando 15 integral0^2pi ( 1024 cdot 15128 - 8 - raiz224 ) dtheta = 15 integral0^2pi ( 120 - 8 - raiz224 ) dtheta :
15 integral0^2pi ( 120 - 8 - raiz224 ) dtheta
Simplificando:
15 integral0^2pi ( 120 - 13 + raiz224 ) dtheta = 15 integral0^2pi ( 3593 + raiz224 ) dtheta
Calculando :

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a 15 ( 3593 + raiz224 ) cdot 2pi = 2pi5 ( 3593 + raiz224 ) :
Podemos simplificar mais, mas já temos uma expressão fechada para a integral.

Resposta

A integral tripla vale .

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