Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo:
(i)
.
(i)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar e esboçar o domínio da função
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre funções envolvendo raízes e condições para que essas funções sejam definidas. Precisamos garantir que as expressões dentro das raízes sejam válidas e que o denominador não seja zero.
Passo 2
Primeiro, analisamos o numerador da função:
. Como estamos lidando com uma raiz de índice par (quarta raiz), o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero para que a função seja definida. Portanto, temos:
Isso significa que
, que é a equação de um círculo com raio 1. Os pontos que satisfazem essa condição estão fora ou na circunferência desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
. Novamente, como é uma raiz quadrada (índice par), o que está dentro da raiz deve ser maior que zero para evitar divisão por zero e manter a raiz definida. Assim:
Podemos reescrever essa desigualdade para simplificar:
Dividindo ambos os lados por 36:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 e 3, respectivamente. Os pontos que satisfazem essa condição estão dentro dessa elipse.
Passo 4
Para determinar o domínio da função
, precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo:
-
(fora ou na circunferência de raio 1) -
(dentro da elipse de semi-eixos 2 e 3)
Visualizando essas duas regiões no plano cartesiano, o domínio da função será a interseção dessas duas condições, ou seja, os pontos que estão dentro da elipse e fora ou na circunferência do círculo.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem: