Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo:
(i) h(x, y) = raiz4(x^2 + y^2 - 1) / raiz(36 - 9x^2 - 4y^2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar e esboçar o domínio da função . Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre funções envolvendo raízes e condições para que essas funções sejam definidas. Precisamos garantir que as expressões dentro das raízes sejam válidas e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Primeiro, analisamos o numerador da função: . Como estamos lidando com uma raiz de índice par (quarta raiz), o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero para que a função seja definida. Portanto, temos:
Isso significa que , que é a equação de um círculo com raio 1. Os pontos que satisfazem essa condição estão fora ou na circunferência desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: . Novamente, como é uma raiz quadrada (índice par), o que está dentro da raiz deve ser maior que zero para evitar divisão por zero e manter a raiz definida. Assim:
Podemos reescrever essa desigualdade para simplificar:
Dividindo ambos os lados por 36:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 e 3, respectivamente. Os pontos que satisfazem essa condição estão dentro dessa elipse.

Passo 4

Para determinar o domínio da função , precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo:
  1. (fora ou na circunferência de raio 1)
  2. (dentro da elipse de semi-eixos 2 e 3)
Visualizando essas duas regiões no plano cartesiano, o domínio da função será a interseção dessas duas condições, ou seja, os pontos que estão dentro da elipse e fora ou na circunferência do círculo.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem:

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