Prove que o volume do elipsoide é supondo conhecido o volume da esfera, considerando a mudança de coordenadas e utilizando integração tripla.
Passo 1
Vamos provar que o volume do elipsoide dado pela equação é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração tripla, e uma mudança de coordenadas. Também vamos considerar que já sabemos o volume de uma esfera, que é .
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de coordenadas para simplificar a equação do elipsoide. Vamos definir:
Essa substituição transforma nosso elipsoide em uma esfera, porque substituindo na equação original:
Agora, a região que estamos integrando é uma esfera de raio 1 no sistema de coordenadas .
Passo 3
Quando fazemos uma mudança de coordenadas, precisamos considerar o “fator de escala” que ajusta o volume. Esse fator é dado pelo determinante Jacobiano da transformação. Para nossa transformação:
[
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
a b c
= a b c
]
Então, o determinante Jacobiano é .
Passo 4
Agora, podemos expressar o volume do elipsoide em termos da integração na nova coordenada:
Aqui, é o valor absoluto do Jacobiano, que já calculamos como a b c.
Passo 5
Sabemos que o volume de uma esfera de raio 1 é . Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do volume do elipsoide: