Prove que o volume do elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 <= 1 é 4/3 * pi * a * b * c supondo conhecido o volume da esfera, considerando a mudança de coordenadas x = a u, y = b v, z = c w e utilizando integração tripla.

Passo 1

Vamos provar que o volume do elipsoide dado pela equação x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 <= 1 é 4/3 * pi * a * b * c. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração tripla, e uma mudança de coordenadas. Também vamos considerar que já sabemos o volume de uma esfera, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de coordenadas para simplificar a equação do elipsoide. Vamos definir:
Essa substituição transforma nosso elipsoide em uma esfera, porque substituindo na equação original:
Agora, a região que estamos integrando é uma esfera de raio 1 no sistema de coordenadas .

Passo 3

Quando fazemos uma mudança de coordenadas, precisamos considerar o “fator de escala” que ajusta o volume. Esse fator é dado pelo determinante Jacobiano da transformação. Para nossa transformação:

[
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =

a b c
= a b c
]
Então, o determinante Jacobiano é .

Passo 4

Agora, podemos expressar o volume do elipsoide em termos da integração na nova coordenada:
Aqui, é o valor absoluto do Jacobiano, que já calculamos como a b c.

Passo 5

Sabemos que o volume de uma esfera de raio 1 é . Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do volume do elipsoide:

Resposta

O volume do elipsoide é 4/3 * pi * a * b * c.

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