(Regra de Leibniz) Seja
uma função contínua tal que
:
existe e também é contínua. Mostre que a função
dada por
é derivável e
, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida por uma integral, chamada
, é derivável. Além disso, a gente precisa provar que a derivada dessa função é igual à integral da derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos usar a Regra de Leibniz para resolver esse problema. Para isso, precisamos saber que a função
é contínua e que sua derivada parcial em relação a
,
, também é contínua no intervalo considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a função
é derivável. Isso quer dizer que existe a derivada
e que podemos encontrar seu valor. Para isso, vamos aplicar a definição de derivada:
Substituindo a definição de
na fórmula acima, temos:
Passo 3
Agora, observamos que podemos combinar as integrais:
Note que
se assemelha à definição de derivada parcial de
em relação a
. De fato, se
tende a zero, isso se aproxima de
.
Passo 4
Pela hipótese do exercício,
é contínua. Isso nos permite trocar o limite com a integral, ou seja:
Essa troca é justificada pelo Teorema de Leibniz, que requer continuidade das funções envolvidas.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
é derivável e sua derivada é dada por: