(Regra de Leibniz) Seja f: I times[a, b] R uma função contínua tal que partial fpartial x : I times[a, b] R existe e também é contínua. Mostre que a função varphi: I R dada por varphi(x)=integrala^b f(x, t) d t é derivável e varphi^prime(x)=integrala^b partial fpartial x(x, t) d t, ou seja,
dd x integrala^b f(x, t) d t=integrala^b partial fpartial x(x, t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida por uma integral, chamada varphi(x) = integrala^b f(x, t) , dt, é derivável. Além disso, a gente precisa provar que a derivada dessa função é igual à integral da derivada parcial de f em relação a x, ou seja:
dd x integrala^b f(x, t) , dt = integrala^b partial fpartial x(x, t) , dt
Vamos usar a Regra de Leibniz para resolver esse problema. Para isso, precisamos saber que a função f(x, t) é contínua e que sua derivada parcial em relação a x, partial fpartial x(x, t), também é contínua no intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a função varphi(x) é derivável. Isso quer dizer que existe a derivada varphi'(x) e que podemos encontrar seu valor. Para isso, vamos aplicar a definição de derivada:
varphi'(x) = limh to 0 varphi(x + h) - varphi(x)h
Substituindo a definição de varphi(x) na fórmula acima, temos:
varphi'(x) = limh to 0 1h ( integrala^b f(x + h, t) , dt - integrala^b f(x, t) , dt )

Passo 3

Agora, observamos que podemos combinar as integrais:
varphi'(x) = limh to 0 1h integrala^b [f(x + h, t) - f(x, t)] , dt
Note que [f(x + h, t) - f(x, t)]/h se assemelha à definição de derivada parcial de f em relação a x. De fato, se h tende a zero, isso se aproxima de partial fpartial x(x, t).

Passo 4

Pela hipótese do exercício, partial fpartial x(x, t) é contínua. Isso nos permite trocar o limite com a integral, ou seja:
varphi'(x) = integrala^b limh to 0 f(x + h, t) - f(x, t)h , dt = integrala^b partial fpartial x(x, t) , dt
Essa troca é justificada pelo Teorema de Leibniz, que requer continuidade das funções envolvidas.

Resposta

Portanto, mostramos que a função varphi(x) = integrala^b f(x, t) , dt é derivável e sua derivada é dada por:
varphi^prime(x) = integrala^b partial fpartial x(x, t) , dt

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