• Questão 3.
    Seja U=U(P, V, T) a energia interna de um gás que obedece à lei do gás ideal P V=n R T, sendo n e R constantes. Encontre partial^2 Upartial P partial T e partial^2 Upartial T partial V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as segundas derivadas parciais da energia interna de um gás ideal em relação às variáveis (pressão), (temperatura) e (volume). A gente vai trabalhar com a lei dos gases ideais , onde e são constantes. O conteúdo envolvido aqui é termodinâmica, mais especificamente propriedades dos gases ideais e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia interna U = U(T) depende apenas da temperatura partial Upartial P = 0 e partial Upartial V = 0 . Isso significa que não varia diretamente com a pressão ou com o volume . Em termos matemáticos, podemos escrever:
Então, as derivadas parciais de em relação a e são zero:

Passo 3

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais que a questão pediu.
Primeiro:
partial^2 Upartial P partial T
Como partial Upartial T = CV não depende de partial^2 Upartial P partial T = partial CVpartial P = 0 , a primeira derivada partial^2 Upartial T partial V é apenas a capacidade calorífica a volume constante partial^2 Upartial T partial V = partial CVpartial V = 0 :
Agora, derivamos em relação a . Mas, como é uma constante para um gás ideal, essa derivada também será zero:
Segundo:
Primeiro, calculamos novamente. Agora, derivamos em relação a . Novamente, como é constante:

Resposta

As segundas derivadas parciais solicitadas são iguais a zero:
partial^2 Upartial P partial T = 0 e partial^2 Upartial T partial V = 0

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