- Questão 3.
Seja
a energia interna de um gás que obedece à lei do gás ideal
, sendo
e
constantes. Encontre
e
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as segundas derivadas parciais da energia interna
de um gás ideal em relação às variáveis
(pressão),
(temperatura) e
(volume). A gente vai trabalhar com a lei dos gases ideais
, onde
e
são constantes. O conteúdo envolvido aqui é termodinâmica, mais especificamente propriedades dos gases ideais e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura
. Isso significa que
não varia diretamente com a pressão
ou com o volume
. Em termos matemáticos, podemos escrever:
Então, as derivadas parciais de
em relação a
e
são zero:
Passo 3
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais que a questão pediu.
Primeiro:
Como
não depende de
, a primeira derivada
é apenas a capacidade calorífica a volume constante
:
Agora, derivamos
em relação a
. Mas, como
é uma constante para um gás ideal, essa derivada também será zero:
Segundo:
Primeiro, calculamos
novamente. Agora, derivamos
em relação a
. Novamente, como
é constante:
Resposta
As segundas derivadas parciais solicitadas são iguais a zero:
Exercícios relacionados
Seja
a região limitada pelas curvas
e
.
(b) Descreva como região do tipo I.
(b) Descreva
Calcule
onde
é o solido limitado pelas superfícies
,
e
Seja
a região limitada pelas curvas
e
.
© Descreva como região do tipo II.
© Descreva