Calcule a soma das séries abaixo.
(d) sumn=0^infty 2^-n / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita: . A matéria aqui envolve séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma razão constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão sumn=0^infty (1raiz2)^n . Lembre-se que é o mesmo que , ou seja, . Assim, nossa série fica:
Aqui, o primeiro termo da série ( ) é quando , que dá , e a razão ( ) é .

Passo 3

Uma série geométrica infinita converge se a razão S = a1 - r estiver entre e . Como está nesse intervalo, podemos usar a fórmula da soma da série infinita:

Passo 4

Aplicando os valores que identificamos:
S = 11 - 1raiz2
Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por S = raiz2raiz2 - 1 :

Passo 5

Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por S = raiz2 (raiz2 + 1)(raiz2 - 1)(raiz2 + 1) = 2 + raiz22 - 1 = 2 + raiz2 :

Resposta

A soma da série é , que aproximadamente é igual a .

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