Calcule a soma das séries abaixo.
(b) sumn=1^infty 9^-n 4^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma da série . Esse exercício envolve séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para resolver, vamos precisar manipular as potências e identificar a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumn=1^infty 9^-n cdot 4^n+1 = sumn=1^infty 9^-n cdot 4 cdot 4^n . Sabemos que . Então, substituindo na série:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos:
sumn=1^infty 4 cdot 4^n cdot 9^-n = 4 cdot sumn=1^infty (49)^n
Aqui, identificamos que temos uma série geométrica com primeiro termo e razão .

Passo 4

Para uma série geométrica da forma sumn=1^infty (49)^n = 491 - 49 = 4959 = 45 , a soma converge se 4 cdot 45 = 165 e é dada por . No nosso caso, como a série começa em , a soma é:
Multiplicando pelo fator que tiramos antes:

Resposta

A soma da série é ou .

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