Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito num semicírcuclo de raio r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área do maior retângulo que dá pra encaixar dentro de um semicírculo com raio . Isso envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar a área. Vamos precisar entender como relacionar as dimensões do retângulo com o raio do semicírculo e depois usar derivadas para achar o máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o semicírculo. Vamos colocá-lo no plano cartesiano de forma que a base do semicírculo esteja no eixo , de a , e o ponto mais alto no eixo . O retângulo que queremos inscrever vai ter sua base alinhada com a base do semicírculo. Vamos chamar metade da base do retângulo de e a altura de . Então, a base total do retângulo será e a altura será .

Passo 3

Agora, como o retângulo está inscrito no semicírculo, seus cantos superiores estão na curva do semicírculo. A equação do semicírculo é . Isso porque, para qualquer ponto no semicírculo, a relação deve valer.

Passo 4

A área do retângulo é dada pela base vezes a altura. Como a base é e a altura é , temos:
Mas sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função em relação a e achar onde essa derivada é zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, a função é:
Vamos derivar usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 6

Derivando :
Simplificando:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

Passo 7

Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
O denominador não pode ser zero, então só precisamos resolver:

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar :

Passo 9

Com e , a área máxima é:

Resposta

A área do maior retângulo que pode ser inscrito num semicírculo de raio é .

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