Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito num semicírcuclo de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área do maior retângulo que dá pra encaixar dentro de um semicírculo com raio
. Isso envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar a área. Vamos precisar entender como relacionar as dimensões do retângulo com o raio do semicírculo e depois usar derivadas para achar o máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o semicírculo. Vamos colocá-lo no plano cartesiano de forma que a base do semicírculo esteja no eixo
, de
a
, e o ponto mais alto no eixo
. O retângulo que queremos inscrever vai ter sua base alinhada com a base do semicírculo. Vamos chamar metade da base do retângulo de
e a altura de
. Então, a base total do retângulo será
e a altura será
.
Passo 3
Agora, como o retângulo está inscrito no semicírculo, seus cantos superiores estão na curva do semicírculo. A equação do semicírculo é
. Isso porque, para qualquer ponto
no semicírculo, a relação
deve valer.
Passo 4
A área
do retângulo é dada pela base vezes a altura. Como a base é
e a altura é
, temos:
Mas sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Para encontrar a área máxima, precisamos derivar a função
em relação a
e achar onde essa derivada é zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, a função é:
Vamos derivar usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 6
Derivando
:
Simplificando:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Passo 7
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
O denominador não pode ser zero, então só precisamos resolver:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
:
Passo 9
Com
e
, a área máxima é:
Resposta
A área do maior retângulo que pode ser inscrito num semicírculo de raio
é
.