Calcule: integral triplaB d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; 9 <= x^2+y^2+z^2 <= 16.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla integral triplaB dx, dy, dz, onde B é o conjunto de pontos (x, y, z) in R^3 que satisfazem 9 <= x^2+y^2+z^2 <= 16.
Esse problema está relacionado ao cálculo de volumes utilizando integrais triplas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo de integrais sobre regiões esféricas ou anulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B. A condição 9 <= x^2+y^2+z^2 <= 16 descreve todos os pontos que estão entre duas esferas concêntricas de raios raiz9=3 e raiz16=4.
Isso significa que B é um anel esférico (ou esfera oca), com volume entre as esferas de raio 3 e 4.

Passo 3

Para calcular a integral tripla sobre B, é mais fácil usar coordenadas esféricas, onde as variáveis são:
  • rho: distância do ponto à origem,
  • theta: ângulo polar (em relação ao eixo z),
  • phi: ângulo azimutal (em relação ao eixo x).
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
x = rho sintheta cosphi,
y = rho sintheta sinphi,
z = rho costheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi

Passo 4

Vamos expressar a integral tripla na coordenada esférica:
integral triplaB dx, dy, dz = integralrho=3^4 integraltheta=0^pi integralphi=0^2pi rho^2 sintheta , dphi , dtheta , drho
Aqui, rho varia de 3 a 4, theta de 0 a pi e phi de 0 a 2pi para abarcar toda a região B.

Passo 5

Vamos calcular as integrais uma a uma, começando pela integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 6

Em seguida, integramos em theta:
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Isso porque a integral de sintheta de 0 a pi é igual a 2.

Passo 7

Por fim, integramos em rho:
integral3^4 rho^2 , drho = [ rho^33 ]3^4 = 4^3 - 3^33 = 64 - 273 = 373

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é:
integral triplaB dx, dy, dz = 2pi times 2 times 373 = 1483 pi

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