Calcule:
, onde
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla
, onde
é o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Esse problema está relacionado ao cálculo de volumes utilizando integrais triplas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo de integrais sobre regiões esféricas ou anulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. A condição
descreve todos os pontos que estão entre duas esferas concêntricas de raios
e
.
Isso significa que
é um anel esférico (ou esfera oca), com volume entre as esferas de raio 3 e 4.
Passo 3
Para calcular a integral tripla sobre
, é mais fácil usar coordenadas esféricas, onde as variáveis são:
-
: distância do ponto à origem, -
: ângulo polar (em relação ao eixo z), -
: ângulo azimutal (em relação ao eixo x).
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos expressar a integral tripla na coordenada esférica:
Aqui,
varia de 3 a 4,
de 0 a
e
de 0 a
para abarcar toda a região
.
Passo 5
Vamos calcular as integrais uma a uma, começando pela integral em
:
Passo 6
Em seguida, integramos em
:
Isso porque a integral de
de 0 a
é igual a 2.
Passo 7
Por fim, integramos em
:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é: