Calcule: , onde .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla , onde é o conjunto de pontos que satisfazem .
Esse problema está relacionado ao cálculo de volumes utilizando integrais triplas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo de integrais sobre regiões esféricas ou anulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição descreve todos os pontos que estão entre duas esferas concêntricas de raios e .
Isso significa que é um anel esférico (ou esfera oca), com volume entre as esferas de raio 3 e 4.
Passo 3
Para calcular a integral tripla sobre , é mais fácil usar coordenadas esféricas, onde as variáveis são:
- : distância do ponto à origem,
- : ângulo polar (em relação ao eixo z),
- : ângulo azimutal (em relação ao eixo x).
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos expressar a integral tripla na coordenada esférica:
Aqui, varia de 3 a 4, de 0 a e de 0 a para abarcar toda a região .
Passo 5
Vamos calcular as integrais uma a uma, começando pela integral em :
Passo 6
Em seguida, integramos em :
Isso porque a integral de de 0 a é igual a 2.
Passo 7
Por fim, integramos em :
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é:
Exercícios relacionados
Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .
Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e $0
Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
(b) .