Calcule: , onde .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla , onde é o conjunto de pontos que satisfazem . Esse problema está relacionado ao cálculo de volumes utilizando integrais triplas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo de integrais sobre regiões esféricas ou anulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição descreve todos os pontos que estão entre duas esferas concêntricas de raios e . Isso significa que é um anel esférico (ou esfera oca), com volume entre as esferas de raio 3 e 4.

Passo 3

Para calcular a integral tripla sobre , é mais fácil usar coordenadas esféricas, onde as variáveis são: - : distância do ponto à origem, - : ângulo polar (em relação ao eixo z), - : ângulo azimutal (em relação ao eixo x). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é: Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Vamos expressar a integral tripla na coordenada esférica: Aqui, varia de 3 a 4, de 0 a e de 0 a para abarcar toda a região .

Passo 5

Vamos calcular as integrais uma a uma, começando pela integral em :

Passo 6

Em seguida, integramos em : Isso porque a integral de de 0 a é igual a 2.

Passo 7

Por fim, integramos em :

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é:

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Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .
Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e $0
Expresse o número racional como uma razão de inteiros: (b) .