Calcule: integral triplaB e^x^2+y^2 d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

Vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde a região é definida por . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas apropriadas. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas cilíndricas, já que o integrando envolve , o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos um ponto no espaço por x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , onde dx , dy , dz = r , dr , dtheta , dz é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura. A transformação das coordenadas cartesianas para cilíndricas é dada por:
E o diferencial de volume se transforma assim:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a região 1 <= r^2 + z^2 <= 4 em coordenadas cilíndricas. A condição se transforma em:
Isso representa a região entre duas esferas concêntricas com raios 1 e 2. Vamos determinar os limites de integração para , e .

Passo 4

Para os limites:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • Para cada , varia de até (a maior distância permitida pela esfera de raio 2).
  • Para cada , varia entre e , mas considerando também a esfera de raio 1, ajustamos os limites para variando de a e de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral na coordenadas cilíndricas:
integral triplaB e^x^2+y^2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^raiz4 - z^2 integralraiz1 - r^2^raiz4 - r^2 e^r^2 , r , dz , dr , dtheta
No entanto, essa integral pode ser simplificada observando que integralraiz1 - r^2^raiz4 - r^2 dz = raiz4 - r^2 - raiz1 - r^2 e integral0^2pi integral0^1 e^r^2 , r (raiz4 - r^2 - raiz1 - r^2) , dr , dtheta não dependem de , então a integração em resulta na diferença das alturas:
Assim, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições apropriadas, mas envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, o resultado será expresso em termos de funções especiais ou avaliadas numericamente.

Resposta

A integral tripla 2pi integral0^1 e^r^2 , r (raiz4 - r^2 - raiz1 - r^2) , dr pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como:
Esse é o valor final da integral na região .

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