Calcule: , onde .

Passo 1

Vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde a região é definida por . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas apropriadas. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas cilíndricas, já que o integrando envolve , o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos um ponto no espaço por , onde é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura. A transformação das coordenadas cartesianas para cilíndricas é dada por:
E o diferencial de volume se transforma assim:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a região em coordenadas cilíndricas. A condição se transforma em:
Isso representa a região entre duas esferas concêntricas com raios 1 e 2. Vamos determinar os limites de integração para , e .

Passo 4

Para os limites:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • Para cada , varia de até (a maior distância permitida pela esfera de raio 2).
  • Para cada , varia entre e , mas considerando também a esfera de raio 1, ajustamos os limites para variando de a e de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral na coordenadas cilíndricas:
No entanto, essa integral pode ser simplificada observando que e não dependem de , então a integração em resulta na diferença das alturas:
Assim, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições apropriadas, mas envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, o resultado será expresso em termos de funções especiais ou avaliadas numericamente.

Resposta

A integral tripla pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como:
Esse é o valor final da integral na região .

Exercícios relacionados

Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .
Calcule a soma das séries abaixo.
(a)
Calcule a soma das séries abaixo.
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