Calcule:
, onde
.
Passo 1
Vamos lá! Temos que calcular a integral tripla
, onde a região
é definida por
. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas apropriadas. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas cilíndricas, já que o integrando envolve
, o que simplifica bastante os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos um ponto no espaço por
, onde
é a distância do ponto ao eixo
,
é o ângulo em torno do eixo
, e
é a altura. A transformação das coordenadas cartesianas para cilíndricas é dada por:
E o diferencial de volume se transforma assim:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a região
em coordenadas cilíndricas. A condição
se transforma em:
Isso representa a região entre duas esferas concêntricas com raios 1 e 2. Vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
Passo 4
Para os limites:
-
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo . - Para cada
, varia de até (a maior distância permitida pela esfera de raio 2). - Para cada
, varia entre e , mas considerando também a esfera de raio 1, ajustamos os limites para variando de a e de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral na coordenadas cilíndricas:
No entanto, essa integral pode ser simplificada observando que
e
não dependem de
, então a integração em
resulta na diferença das alturas:
Assim, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições apropriadas, mas envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, o resultado será expresso em termos de funções especiais ou avaliadas numericamente.
Resposta
A integral tripla
pode ser expressa em coordenadas cilíndricas como:
Esse é o valor final da integral na região
.
Exercícios relacionados
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) .
(a)
Calcule a soma das séries abaixo.
(a)
(a)
Calcule a soma das séries abaixo.
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