Calcule a soma das séries abaixo.
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Passo 1
Vamos calcular a soma da série
. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que envolvem somas infinitas de termos que seguem uma razão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a razão da nossa série geométrica. A série dada pode ser escrita como:
Aqui, cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. Portanto, a razão
da série é:
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso:
Como a condição é satisfeita, a série converge e podemos calcular sua soma.
Passo 4
A fórmula para a soma
de uma série geométrica infinita é:
Onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo
é
e a razão
é também
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando o denominador:
Então:
Resposta
A soma da série é
.
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(a)
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, onde
.
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(d)
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