Calcule a soma das séries abaixo.
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Passo 1

Vamos calcular a soma da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que envolvem somas infinitas de termos que seguem uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da nossa série geométrica. A série dada pode ser escrita como:
Aqui, cada termo é obtido multiplicando o anterior por . Portanto, a razão da série é:

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso:
Como a condição é satisfeita, a série converge e podemos calcular sua soma.

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo é e a razão é também .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando o denominador:
Então:

Resposta

A soma da série é .

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(a)
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(b)
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(d)