Calcule a soma das séries abaixo.
© sumn=1^infty e^-n

Passo 1

Vamos calcular a soma da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que envolvem somas infinitas de termos que seguem uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da nossa série geométrica. A série dada pode ser escrita como:
sumn=1^infty e^-n = e^-1 + e^-2 + e^-3 + dots
Aqui, cada termo é obtido multiplicando o anterior por r = e^-1 . Portanto, a razão da série é:

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |e^-1| = e^-1 approx 0,3679 < 1 . No nosso caso:
Como a condição é satisfeita, a série converge e podemos calcular sua soma.

Passo 4

A fórmula para a soma S = a1 - r de uma série geométrica infinita é:
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo é e a razão é também .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
S = e^-11 - e^-1
Simplificando o denominador:
1 - e^-1 = e - 1e
Então:
S = e^-1e - 1e = 1e - 1

Resposta

A soma da série é .

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