Calcule integral triplaB cos (z) d x d y d z, onde B=(x, y, z) lvert, 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= pi2, x-y <= z <= x+y.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla integral triplaB cos (z) d x d y d z, onde B é uma região que tem limite definido por 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= pi2, e onde z está entre duas superfícies: z = x - y e z = x + y. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como as variáveis estão dispostas e em que ordem vamos integrá-las. Então, a matéria que vamos usar aqui é a de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os limites para as variáveis na integral. Vamos integrar em ordem z, y e x. Assim, os limites para cada variável ficam:
  • Para x: 0 <= x <= pi2.
  • Para y: Para cada valor de x, y pode variar de 0 até pi2, portanto, 0 <= y <= pi2.
  • Para z: O valor de z varia de z = x - y até z = x + y para cada par de (x,y), então x - y <= z <= x + y.
Agora, podemos montar a integral tripla com esses limites:
integral triplaB cos(z) , dxdydz = integral0^pi2 integral0^pi2 integralx-y^x+y cos(z) , dz , dy , dx

Passo 3

Agora que temos nossa integral montada, vamos primeiro calcular a integral em relação a z:
integralx-y^x+y cos(z) , dz
A integral de cos(z) é sin(z), então:
integral cos(z) , dz = sin(z)
Agora, aplicando os limites:
sin(z) g|x-y^x+y = sin(x+y) - sin(x-y)
Assim, nossa integral agora fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 ( sin(x+y) - sin(x-y) ) dy , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral dupla:
integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x+y) , dy , dx - integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x-y) , dy , dx
Vamos calcular a primeira parte:
integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x+y) , dy , dx
Fazemos a integral em relação a y primeiro:
integral sin(x+y) , dy = -cos(x+y)
Aplicando os limites:
-cos(x + y) g|0^pi2 = -cos(x + pi2) + cos(x) = sin(x) + cos(x)
Agora, precisamos fazer a integral em x:
integral0^pi2 (sin(x) + cos(x)) , dx = (-cos(x) + sin(x)) g|0^pi2 = (-cos(pi2) + sin(pi2)) - (-cos(0) + sin(0)) = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte:
integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x-y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral sin(x-y) , dy = -cos(x-y)
Aplicando os limites:
-cos(x-y) g|0^pi2 = -cos(x - pi2) + cos(x) = sin(x) + cos(x)
Assim, obtemos a mesma integral que já fizemos antes. Portanto, a integral total da segunda parte também será 2.

Resposta

Finalmente, subtraindo as duas partes, teremos:
2 - 2 = 0
Portanto, a resposta final da integral é boxed0.

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