Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla integral triplaB cos (z) d x d y d z, onde B é uma região que tem limite definido por 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= pi2, e onde z está entre duas superfícies: z = x - y e z = x + y. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como as variáveis estão dispostas e em que ordem vamos integrá-las. Então, a matéria que vamos usar aqui é a de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os limites para as variáveis na integral. Vamos integrar em ordem z, y e x. Assim, os limites para cada variável ficam:
Para x: 0 <= x <= pi2.
Para y: Para cada valor de x, y pode variar de 0 até pi2, portanto, 0 <= y <= pi2.
Para z: O valor de z varia de z = x - y até z = x + y para cada par de (x,y), então x - y <= z <= x + y.
Agora, podemos montar a integral tripla com esses limites:
integral triplaB cos(z) , dxdydz = integral0^pi2 integral0^pi2 integralx-y^x+y cos(z) , dz , dy , dx
Passo 3
Agora que temos nossa integral montada, vamos primeiro calcular a integral em relação a z:
integralx-y^x+y cos(z) , dz
A integral de cos(z) é sin(z), então:
integral cos(z) , dz = sin(z)
Agora, aplicando os limites:
sin(z) g|x-y^x+y = sin(x+y) - sin(x-y)
Assim, nossa integral agora fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 ( sin(x+y) - sin(x-y) ) dy , dx
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral dupla:
integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x+y) , dy , dx - integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x-y) , dy , dx