Calcule , onde .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é uma região que tem limite definido por , , e onde está entre duas superfícies: e . Para resolver essa integral, vamos precisar entender como as variáveis estão dispostas e em que ordem vamos integrá-las. Então, a matéria que vamos usar aqui é a de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os limites para as variáveis na integral. Vamos integrar em ordem , e . Assim, os limites para cada variável ficam:
  • Para : .
  • Para : Para cada valor de , pode variar de até , portanto, .
  • Para : O valor de varia de até para cada par de , então .
Agora, podemos montar a integral tripla com esses limites:

Passo 3

Agora que temos nossa integral montada, vamos primeiro calcular a integral em relação a :
A integral de é , então:
Agora, aplicando os limites:
Assim, nossa integral agora fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral dupla:
Vamos calcular a primeira parte:
Fazemos a integral em relação a primeiro:
Aplicando os limites:
Agora, precisamos fazer a integral em :

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte:
Primeiro, integramos em relação a :
Aplicando os limites:
Assim, obtemos a mesma integral que já fizemos antes. Portanto, a integral total da segunda parte também será .

Resposta

Finalmente, subtraindo as duas partes, teremos:
Portanto, a resposta final da integral é .

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